Oppimistehtävä 2 – harjoitustehtävät
Perusjoukko ja otanta
Perusjoukko eli populaatio on koko tutkittava ryhmä. Se voi olla esim. kaikki suomalaiset (5 400 000) tai kaikki Gradian opiskelijat.
Otanta on edustava otos tai näyte perusjoukosta. Sen perusteella tehdään päätelmä perusjoukosta. Sillä on aina virhemarginaali, jolla saatu tulos kuvaa perusjoukkoa.
Otanta voi olla esim. naisia ja miehiä, nuoria ja vanhoja suomalaisia tai järkevästi valittu osa Gradian opiskelijoista.
Mitta-asteikot
1 Luokittelu
Arvoilla ei ole yksikäsitteistä järjestystä.
Arvojen eroja ei voida laskea.
Esim. 30
tyttö, poika
oikein, väärin
kynä, kumi, viivain
2 Järjestys
Arvoilla on yksikäsitteinen järjestys.
Arvojen eroja ei voida laskea.
Esim. 31
vauva, lapsi, nuori, aikuinen
kuuma, lämmin, viileä, kylmä
harjoittelija, työntekijä, työnjohtaja
3 Välimatka
Arvojen erot voidaan laskea.
Arvojen suhteellista eroa ei voida laskea.
Esim. 32
vuosiluvut 2016, 2017, 2018
kouluarvosanat: 1-3, 1-5, 4-10
lämpötilan mittaaminen celsiusasteina ()
4 Suhde
Arvoilla on absoluuttinen nollakohta.
Arvojen suhteellinen ero voidaan laskea.
Esim. 33
kappaleen massa
työntekijän vuositulot
lämpötilan mittaaminen kelvineinä
Taulukointi ja luokittelu
Kerättyä aineistoa on helpompi käsitellä, kun se luokitellaan ja taulukoidaan. On myös yksinkertaisempaa tutkia yhtä muuttujaa kerrallaan.
Frekvenssi () on havaintoarvon esiintymiskertojen lukumäärä. Suhteellinen frekvenssi () on havaintoarvon esiintymiskertojen prosenttiosuus.
Summafrekvenssi () saadaan, kun lasketaan yhteen havaintoarvon ja sitä edeltävien arvojen esiintymiskertojen lukumäärät. Suhteellinen summafrekvenssi () on summafrekvenssin prosenttiosuus.
Esim. 34
Lasketaan taulukkoon jokaisen arvosanan frekvenssi, suhteellinen frekvenssi, summafrekvenssi ja suhteellinen summafrekvenssi.
Monesti on järkevää luokitella aineisto, jolloin (1) luokat valitaan tasavälisiksi, (2) luokkia muodostetaan yleensä 4-10, (3) jokaisella luokalla on luokkarajat (ylä- ja alaraja) ja (4) peräkkäisten luokkien ylä- ja alarajat ovat erisuuret.
Jos muuttujat on luokiteltu, on luokkaväli kahden peräkkäisen alarajan erotus. Luokkakeskus on luokan todellisen ala- ja ylärajan keskiarvo.
Esim. 35
Luokittele taulukkoon jokainen arvosana.
Lasketaan taulukkoon frekvenssi, luokkaväli ja luokkakeskus.
Huomataan, että luokan 5-6 todellinen alaraja on 4,5 ja todellinen yläraja 6,5.
Kuvaajat
Tilastokuviot eli diagrammit havainnollistavat tilastoja.
Pylväskuvio eli pylväsdiagrammi voi olla pysty- tai vaakapylväitä. Se koostuu erillisistä yhtä leveistä pylväistä.
Esim. 36
Mainonnassa kuluttajaa hämmennetään kuvaajilla.
Sama mainos ilman pystyakselin leikkausta!
Piirakkakuvio eli sektoridiagrammi eli ympyrädiagrammi havainnollistaa kokonaisuuden jakautumista osiin. Se alkaa ylhäältä keskeltä, ja sektorit piirretään myötäpäivään. Huonona puolena on se, että kyseinen diagrammi vaikeuttaa lähes yhtä suurten osuuksien erottamista toisistaan.
Esim. 37
Torikauppiaan päivämyynnin (100 %) jakautuminen.
Huomaa, että sektorin irrotus korostaa!
Hyvä tilastokuvio on selkeä ja yksinkertainen, joten visuaaliset kolmiulotteiset perspektiivikuvat vaikeuttavat hahmottamista.
Esim. 38
Laaditaan arvosanoista pylväskuvio ja sektoridiagrammi.
Lasketaan ympyrädiagrammia varten sektorien keskuskulmat.
Piirretään pylväskuvio ja sektoridiagrammi.
Histogrammi kuvaa muuttujan arvojen jakautumista tietyn valitun luokkajaon mukaisesti. Siksi sen pylväät ovat kiinni toisissaan ja siksi sen rajat ovat todellisten rajojen kohdalla.
Esim. 39
Pienen kylän ikäjakauma.
Viivadiagrammi kuvaa tutkittavan ominaisuuden kehitystä tietyn ajanjakson aikana. Siksi vaaka-akselilla on aina aika ja siksi pystyasteikko usein skaalataan edulliseksi.
Esim. 40
Yrityksen liikevoittojen kehitys vuosina 2012-2017.
Huomaa pystyakselin vaikutus kuvaajan tulkintaan!
Tilastollisia tunnuslukuja
Kun tilastossa on paljon informaatiota, tilastolliset tunnusluvut tiivistävät tietoa ja helpottavat päätelmien tekemistä.
Keskiluvut
Keskiluvut kuvaavat lukujoukon ”keskikohtaa”.
Lukujoukon aritmeettinen keskiarvo kuvaa sen keskimääräistä lukua. Se on lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä.
Kirjoitetaan keskiarvo, jos lukujen lukumäärä on .
Esim. 41
Koulunumerot ovat 8, 9, 5, 6, 7, 7, 9 ja 7.
Lasketaan keskiarvo.
Moodi (Mo) eli tyyppiarvo on se lukujoukon lukuarvo, jota on eniten. Se voi olla myös ne lukujoukon lukuarvot, joita on eniten.
Esim. 42
Koulunumerot ovat 8, 9, 5, 6, 7, 7, 9 ja 7.
Koulunumeroiden moodi on 7, koska niitä on 3 kappaletta eli eniten.
Mediaani (Md) on suuruusjärjestetyn lukujoukon keskimmäinen luku, jos lukuja on pariton lukumäärä. Se on kahden keskimmäisen luvun keskiarvo, jos lukuja on parillinen lukumäärä. Mediaani jakaa lukujoukon kahteen yhtä suureen osaan.
Esim. 43
Koulunumerot ovat 8, 9, 5, 6, 7, 7, 9 ja 7.
Numerot ovat suuruusjärjestyksessä 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9.
Mediaani on kahden keskimmäisen luvun keskiarvo.
Lukujoukko on symmetrinen, jos aritmeettinen keskiarvo ja mediaani on sama. Se on vino, jos tietyt joukon luvut eroavat paljon muista luvuista.
Lukujoukkoa kuvaavista keskiluvuista kertoo moodi yleisimmän, mediaani keskimmäisen, ja keskiarvo keskimääräisen havaintoarvon.
Hajontaluvut
Hajontaluvut kertovat lukujen sijainnin suhteessa keskilukuihin.
Jos lukujoukon hajonta on pieni, ovat kaikki luvut lähellä keskiarvoa. Jos se on suuri, on osa luvuista kaukana keskiarvosta.
Lukujoukon vaihteluväli on sen pienin ja suurin luku merkittynä hakasulkuihin. Pituudeltaan vaihteluväli on lukujoukon suurimman ja pienimmän luvun erotus.
Esim. 44
Koulunumerot ovat 8, 9, 5, 6, 7, 7, 9 ja 7.
Numeroiden vaihteluväli on .
Numeroiden vaihteluvälin pituus on .
Lukujoukon keskihajonta on mittaluku lukujen hajonnalle.
Jos keskihajonta on pieni, ovat lukujoukon lukuarvot lähellä keskiarvoa. Jos se on suuri, ovat lukujoukon lukuarvot kaukana keskiarvosta.
Esim. 45
Matematiikan numerot ovat 6, 9 ja 6.
Lasketaan keskiarvo.
Moodi on luku 6, koska sitä on eniten 2 kpl.
Mediaani on luku 6, koska se on suuruusjärjestetyn lukujoukon 6, 6, 9 keskimmäinen luku.
Vaihteluväli on .
Vaihteluvälin pituus on .
Lasketaan keskihajonta.