1 Yhtälöistä - YTO2-MAV-opintojakso

Oppimistehtävä 1 – harjoitustehtävät

Ensimmäisen asteen yhtälöt

Yhtälö on kahden luvun tai lausekkeen merkitty yhtäsuuruus. Yhtälön ratkaisu on sen juuri.

Yhtälönratkaisu 1
Tee sama laskutoimitus yhtälön molemmille puolille.

Esim. 1

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} x - 2 &= 5 \qquad\qquad \vert + 2 \\ x - 2 + 2 &= 5 + 2 \\ x &= 7 \end{align*}$

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} 4x &= 8 \qquad\qquad \vert : 4 \\ \frac{4x}{4} &= \frac{8}{4} \\ x &= 2 \end{align*}$

Yhtälönratkaisu 2
Jos vaihdat termin puolta, muuta sen etumerkki.

Esim. 2

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} x - 4 &= 6 \\ x &= 6 + 4 \\ x &= 10 \end{align*}$

Yhtälönratkaisu 3
Yhdistä samankaltaiset termit siirtämällä ne samalle puolelle.

Esim. 3

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} 2x + 2 &= x + 1 \\ 2x - x &= 1 - 2 \\ x &= -1 \end{align*}$

Kirjoitetaan yleinen ohje yhtälön ratkaisuun.

Rendered by QuickLaTeX.com

Lausekkeen käsittely

Kirjoitetaan kertolaskun määritelmän mukainen laskutoimitus.

$2(a + b) = (a + b) + (a + b)= a + b + a + b = 2a + 2b$

Kirjoitetaan osittelulait.

$\begin{align*} a(b + c) &= ab + ac \\ a(b - c) &= ab - ac \end{align*}$

Kun lauseke kerrotaan luvulla, kerrotaan lausekkeen jokainen termi kyseisellä luvulla. Lopuksi yhdistetään samanmuotoiset termit.

Esim. 4

$\begin{align*} 4 + 3(2x - 2) &= 4 + 3 \cdot 2x - 3 \cdot 2 \\ &= 4 + 6x - 6 \\ &= 6x - 2 \end{align*}$

Tulon etumerkki riippuu sen tekijöistä.

$\begin{align*} +1 \cdot (+x) &= +x \\ -1 \cdot (-x) &= +x \\ +1 \cdot (-x) &= -x \\ -1 \cdot (+x) &= -x \end{align*}$

Esim. 5

$\begin{align*} -3(a - 2) &= -3 \cdot a - 3 \cdot (-2) \\ &= -3a + 6 \end{align*}$

Kirjoitetaan laskujärjestys.

$\left\{ \begin{array}{lccc} \text{aina ensin} ~ &( & & ) \\ \text{vasta sitten} ~ & \cdot & / & : \\ \text{viimeiseksi} ~ & + & / & - \\ \end{array} \right.$

Yhtälönratkaisu 4
Poista sulkumerkit suorittamalla tutut laskutoimitukset.

Esim. 6

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} 5(x - 3) &= 5 \\ 5x - 15 &= 5 \\ 5x &= 5 + 15 \\ 5x &= 20 \\ x &= 4 \\ \end{align*}$

Yhtälönratkaisu 5
Poista nimittäjät kertomalla yhtälö sopivalla luvulla.

Esim. 7

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} \frac{x}{2} + \frac{x}{5} &= 7 \qquad \vert \cdot 10 \\ \frac{10x}{2} + \frac{10x}{5} &= 70 \\ 5x + 2x &= 70 \\ 7x &= 70 \\ x &= 10 \end{align*}$

Jako-ongelmia

Matemaattisessa ongelmanratkaisussa (1) merkitse tuntematonta $x$ :llä, (2) lausu muut suureet tuntemattoman avulla, (3) kirjoita yhtälö, (4) ratkaise yhtälö ja (5) tarkasta tulos.

Esim. 8

Jaa 480 € A:n, B:n ja C:n kesken siten, että B saa kaksi kertaa niin paljon kuin A ja C saa 30 € enemmän kuin B.

Ratkaisu

(1) Merkitään tuntematonta $x$ :llä ja (2) lausutaan muut suureet tuntemattoman avulla.

A saa summan $x$ .
B saa summan $2x$ .
C saa summan $2x + 30$ .

(3) Kirjoitetaan yhtälö ja (4) ratkaistaan se.

$\begin{align*} A + B + C &= 480 \\ x + 2x + 2x + 30 &= 480 \\ 5x &= 480 - 30 \\ 5x &= 450 \\ x &= 90 \end{align*}$

(5) Tarkastetaan tulos.

$90 + 2 \cdot 90 + 2 \cdot 90 + 30 = 480$

Vastaus

A saa 90 €, B saa 180 € ja C saa 210 €.

Esim. 9

Kalasaaliista kolme neljäsosaa tulee verkolla, viidesosa katiskalla ja kolme kalaa ongella. Laske kalojen lukumäärä.

Ratkaisu

(1) Merkitään tuntematonta $x$ :llä ja (2) lausutaan muut suureet tuntemattoman avulla.

Koko kalasaalis on $x$ .
Verkolla saadaan saalis $\frac{3}{4}x$ .
Katiskalla saadaan saalis $\frac{1}{5}x$ .
Ongella saadaan $3$ kalaa.

(3) Kirjoitetaan yhtälö ja (4) ratkaistaan se.

$\begin{align*} x &= \frac{3}{4}x + \frac{1}{5}x + 3 \qquad \vert \cdot 20 \\ 20x &= \frac{60}{4}x + \frac{20}{5}x + 60 \\ 20x &= 15x + 4x + 60 \qquad \vert -19x \\ x &= 60 \end{align*}$

(5) Tarkastetaan tulos.

$\frac{3}{4} \cdot 60 + \frac{1}{5} \cdot 60 + 3 = 60$

Vastaus

Kaloja saadaan 60 kpl.

Suoraan ja kääntäen verrannolliset suureet

Kaksi toisistaan riippuvaa suuretta ovat suoraan verrannolliset, jos ne muuttuvat samassa suhteessa.

Esim. 10

Aterian verollinen hinta on 4,5 €. Laske veroton hinta, kun arvonlisävero on 14 %.

Ratkaisu

Muodostetaan seuraava taulukko.

Rendered by QuickLaTeX.com

Kerrotaan taulukon alkiot ristiin, jolloin saadaan

$\begin{align*} 114 \cdot x &= 100 \cdot 4,5 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \vert : 114 \\ x &= \frac{100 \cdot 4,5}{114} = \frac{450}{114} = 3,9474 \approx 3,9 \end{align*}$

Vastaus

Veroton hinta on noin 3,9 €.

Kaksi toisistaan riippuvaa suuretta ovat kääntäen verrannolliset, jos ne muuttuvat käänteisessä suhteessa.

Esim. 11

Junan keskinopeus on 80 km/h, jolloin matka-aika on 2,5 h. Laske aika, kun keskinopeus on 100 km/h.

Ratkaisu

Muodostetaan seuraava taulukko.

Rendered by QuickLaTeX.com

Kerrotaan taulukon alkiot suoraan, jolloin saadaan

$\begin{align*} 100 \cdot x &= 80 \cdot 2,5 \qquad\qquad\qquad \vert : 100 \\ x &= \frac{80 \cdot 2,5}{100} = \frac{200}{100} = 2 \end{align*}$

Vastaus

Matka-aika on 2 h.

Suureyhtälöt

Suureyhtälö (yhtälö, kaava) kertoo suureiden välisen riippuvuuden.

Matematiikan, fysiikan ja/tai kemian laskuissa (1) kerää suureiden arvot, (2) ratkaise suureyhtälöstä oikea suure, (3) sijoita yhtälöön tunnetut arvot yksiköineen, (4) pyöristä vastaus lähtöarvojen perusteella ja (5) kirjoita vastaus yksiköineen.

Esim. 12

Laske matka-aika, kun 280 km matkan keskinopeus on 80,0 km/h.

Ratkaisu

(1) Kerätään alkuun annetut suureet arvoineen.

$s = 280\;\text{km}, \enskip v_\text{k} = 80,0\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

(2) Ratkaistaan keskinopeuden suureyhtälöstä $v_\text{k} = \dfrac{s}{t}$ matka-aika.

$\begin{align*} v_\text{k} &= \frac{s}{t} \qquad \vert \cdot t \\ v_\text{k} t &= s \qquad \vert : v_\text{k} \\ t &= \frac{s}{v_{\text{k}}} \end{align*}$

(3) Sijoitetaan tunnetut arvot.

$t = \frac{280\;\text{km}}{80,0\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}} = 3,5\;\text{h}$

(4) Koska matka on ilmaistu kahdella merkitsevällä numerolla ja nopeus kolmella, ilmoitetaan vastaus epätarkimman mukaisesti.

(5) Vastaus

Matka aika on 3,5 h.

Fysiikan laskuissa välituloksia ei pyöristetä, mutta välituloksen yksiköt merkitään.

Kirjoitetaan vielä koonti suureyhtälöiden ratkaisuvaiheista.

Suureyhtälö 1
Kertoimesta pääsee eroon jakamalla.

Esim. 13

Ratkaise $a$ .

$\begin{align*} ab &= c \qquad \vert : b \\ a &= \frac{c}{b} \end{align*}$

Suureyhtälö 2
Jakajasta pääsee eroon kertomalla.

Esim. 14

Ratkaise $a$ .

$\begin{align*} \frac{a}{b} &= c \qquad \vert \cdot b \\ a &= bc \end{align*}$

Suureyhtälö 3
Jos ratkaistava suure on väärällä puolella, vaihdetaan järjestys.

Esim. 15

Ratkaise $a$ .

$\begin{align*} bc &= a \qquad \vert ~\text{vaihdetaan järjestys} \\ a &= bc \end{align*}$

Suureyhtälö 4
Jos ratkaistava suure on jakajana, kerrotaan molemmat puolet kyseisellä jakajalla.

Esim. 16

Ratkaise $a$ .

$\begin{align*} \frac{b}{a} &= c \qquad \vert \cdot a \\ b &= ac \\ ac &= b \qquad \vert : c \\ a &= \frac{b}{c} \end{align*}$

Suureyhtälö 5
Jos ratkaistava suure on toisessa potenssissa, otetaan molemmilta puolilta neliöjuuri.

Esim. 17

Ratkaise $a$ .

$\begin{align*} a^2 &= c \qquad \vert ~\sqrt{} \\ a &= \pm\sqrt{c} \end{align*}$

Suureyhtälö 6
Jos ratkaistava suure on neliöjuuressa, korotetaan molemmat puolet toiseen potenssiin.

Esim. 18

Ratkaise $a$ .

$\begin{align*} \sqrt{a} &= c \qquad \vert ~()^2 \\ a &= c^2 && \end{align*}$

Toisen asteen yhtälöt

Kirjoitetaan toisen asteen yhtälön yleinen muoto.

Edellisen yhtälön ratkaisut eli juuret ovat funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat.

Rendered by QuickLaTeX.com

Esim. 19

Kanalan seinän viereen rakennetaan aitaus, jonka kolmeen sivuun on käytettävissä 8 metriä aitaa. Kanalan seinää vastaan kohtisuoran sivun pituus on $x$ metriä.

(1) Piirretään kuvio ja ilmaistaan seinän suuntaisen sivun pituus muuttujan $x$ lausekkeena.

Rendered by QuickLaTeX.com

(2) Ilmaistaan aitauksen pinta-ala muuttujan $x$ funktiona $A(x)$ .

$A(x) = (8 - 2x) \cdot x = x(8 - 2x)$

(3) Lasketaan funktion $A(x)$ arvot muuttujan $x$ arvoilla 0, 1, 2, 3 ja 4 ja piirretään funktion kuvaaja.

Rendered by QuickLaTeX.com

Aitauksen pinta-ala (eli funktion $A(x)$ huippu) on suurin, kun $x = 2$ . Pinta-alan maksimi on $8\;\text{m}^2$ .

Jos toisen asteen yhtälössä $ax^2 + bx + c = 0$ termi $b = 0$ , on yhtälö seuraavaa muotoa.

$\begin{align*} ax^2 + c &= 0 \\ ax^2 &= -c \\ x^2 &= -\frac{c}{a} \\ x &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}$

Yhtälöllä on kaksi juurta.

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}} \\ x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}} \end{array} \right.$

Jos termi $-\frac{c}{a} < 0$ , ei yhtälöllä ole juuria.

Esim. 20

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} 4x^2 - 16 &= 0 \\ 4x^2 &= 16 \\ x^2 &= 4 \\ x &= \pm 2 \end{align*}$

Kirjoitetaan yhtälön ratkaisut.

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = 2 \\ x_2 = -2 \end{array} \right.$

Jos toisen asteen yhtälössä $ax^2 + bx + c = 0$ termit $b = 0$ ja $c = 0$ , on yhtälö seuraavaa muotoa.

$\begin{align*} ax^2 &= 0 \\ x^2 &= 0 \\ x &= 0 \end{align*}$

Yhtälön juuri on $x = 0$ .

Esim. 21

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} 4x^2 &= 0 \\ x^2 &= 0 \\ x &= 0 \end{align*}$

Yhtälön juuri on $x = 0$ .

Jos toisen asteen yhtälössä $ax^2 + bx + c = 0$ termi $c = 0$ , on yhtälö seuraavaa muotoa.

$\begin{align*} ax^2 + bx &= 0 \\ x(ax + b) &= 0 \end{align*}$

Yhtälö on nolla, jos jompi kumpi tulon tekijöistä on nolla.

$\begin{align*} x = 0 \quad \text{tai} \quad ax + b &=0 \\ ax &= -b \\ x &= -\frac{b}{a} \end{align*}$

Kirjoitetaan yhtälön ratkaisut.

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = 0 \\ x_2 = -\frac{b}{a} \end{array} \right.$

Esim. 22

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} 2x^2 - 4x &= 0 \\ x(2x - 4) &= 0 \\ x = 0 \quad \text{tai} \quad 2x - 4 &=0 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{align*}$

Kirjoitetaan yhtälön ratkaisut.

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = 0 \\ x_2 = 2 \end{array} \right.$

Kirjoitetaan toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisukaava.

Rendered by QuickLaTeX.com

Esim. 23

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} x^2 + 5x + 6 &= 0 \\ x &= \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x &= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x &= \frac{-5 \pm 1}{2} \end{align*}$

Kirjoitetaan yhtälön ratkaisut.

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = -2 \\ x_2 = -3 \end{array} \right.$

Esim. 24

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} x^2 - 2x + 1 &= 0 \\ x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\ x &= \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} \\ x &= \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x &= \frac{2}{2} \\ x &= 1 \end{align*}$

Yhtälön ratkaisu on $x = 1$ .

Esim. 25

Ratkaise $x$ .

$\begin{align*} 3x^2 + x + 2 &= 0 \\ x &= \frac{-1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2} \\ x &= \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2} \end{align*}$

Yhtälöllä ei ole reaaliratkaisua, koska $\sqrt{-23}$ ei ole reaaliluku.

Yhtälöparit

Yhtälöparissa on merkintänä yleensä aaltosulje. Siinä on kaksi kahden muuttujan yhtälöä. Muuttujien arvot toteuttavat yhtälöparin, jos ne toteuttavat molemmat yhtälöparin yhtälöt.

Yhteenlaskumenetelmässä (1) yhtälöt kerrotaan sopivasti siten, että toisen muuttujan kertoimet ovat vastaluvut, (2) yhtälöt lasketaan yhteen, jolloin ratkaistavaksi jää vain yhtälö, jossa on yksi muuttuja, (3) saatu ratkaisu sijoitetaan jompaankumpaan yhtälöpareista ja (4) toisen muuttujan arvo ratkaistaan yhteenlaskumenettelyllä.

Esim. 26

Määritä yhteenlaskumenetelmällä ne luvut $x$ ja $y$ , jotka toteuttavat molemmat yhtälöt $2x - 3y = -1$ ja $-x + y = 3$ .

Ratkaisu

Kirjoitetaan yhtälöpari.

$\left\{ \begin{aligned} 2x - 3y &= -1 \\ -x + y &= 3 \end{aligned} \right.$

(1) + (2) Ratkaistaan yhtälöpari poistamalla toinen tuntematon, jolloin saadaan yksi yhden tuntemattoman yhtälö.

$\TABbinary \tabularLongunderstack{rrll}{ 2x & - 3y = & -1 & \\ \manybrak[] -x & + y = & 3 \qquad\qquad & \vert \cdot 3 \\ & & & \\ 2x & - 3y = & -1 & \\ \manybrak[]\xlu{-3x} & \xlu{{}+ 3y =} & \xlu{9} & \\ -x & = & 8 \qquad\qquad & \vert \cdot (-1) \\ & x = & -8 & }$

(3) + (4) Ratkaistaan $y$ -koordinaatti sijoittamalla $x = -8$ jompaankumpaan alkuperäisistä yhtälöistä.

$\begin{alignat*}{2} 2x - 3y &= -1 &&\qquad \vert ~\text{sij. 1. yhtälöön $x = -8$} \\ -16 - 3y &= -1 && \\ -3y &= 15 &&\qquad \vert : (-3) \\ y &= -5 && \end{alignat*}$

Molemmat yhtälöt toteuttavat luvut ovat $x = -8$ ja $y = -5$ .

Vastaus

$x = -8$ ja $y = -5$

Yhtälöpari voidaan ratkaista myös sijoitusmenetelmällä.

Esim. 27

Ratkaise sijoitusmenetelmällä yhtälöpari.

$\left\{ \begin{aligned} y &= 3x + 7 \\ x - 3y + 29 &= 0 \end{aligned} \right.$

Ratkaisu

Sijoitetaan jälkimmäiseen yhtälöön ensimmäisen yhtälö, jossa $y$ on ilmaistu $x$ :n lausekkeena.

$\begin{alignat*}{2} x - 3y + 29 &= 0 &&\qquad \vert ~\text{sij. $y = 3x + 7$} \\ x - 3(3x + 7) + 29 &= 0 && \\ x - 9x - 21 + 29 &= 0 && \\ -8x &= -8 && \\ x &= 1 && \end{alignat*}$

Sijoitetaan $x = 1$ ensimmäiseen yhtälöön $y = 3x + 7$ .

$y = 3 \cdot 1 + 7 = 10$

Vastaus

$x = 1$ ja $y = 10$

Yhtälöparien sovelluksia

Esim. 28

Matti ja Maija saivat lahjaksi yhteensä 205 € siten, että Maija sai 85 € enemmän kuin Matti. Laske lahjojen suuruudet.

Ratkaisu

Olkoon Matin saama raha $x$ ja Maijan $y$ .

Kirjoitetaan rahojen summa.

$x + y = 205$

Kirjoitetaan rahojen erotus.

$x - y = -85$

Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälöpari.

$\TABbinary \tabularLongunderstack{rrll}{ x & + y = & 205 & \\ \manybrak[]\xlu{x} & \xlu{{}- y =} & \xlu{-85} & \\ 2x & = & 120 \qquad\qquad & \vert : 2 \\ & x = & 60 & \\ & & & \\ x & - y = & -85 & \vert ~ x = 60 \\ & y = & 145 & }$

Vastaus

Matti sai 60 € ja Maija sai 145 €.

Esim. 29

Astiassa on vettä, jonka sokeripitoisuus 4 %. Toisessa astiassa veden sokeripitoisuus on 14 %. Laske sekoitussuhde, kun halutaan kaksi litraa vettä, jonka sokeripitoisuus on 7 %.

Ratkaisu

Olkoon vesimäärät $x$ ja $y$ .

Kirjoitetaan summa.

$x + y = 2$

Pitoisuudet määräytyvät yhtälöstä

$0,04x + 0,14y = 0,07 \cdot 2 = 0,14$

Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälöpari.

$\TABbinary \tabularLongunderstack{rrll}{ x & + y = & 2 & \vert \cdot (-0,04) \\ \manybrak[]0,04x & + 0,14y = & 0,14 & \\ & & & \\ -0,04x & - 0,04y = & -0,08 & \\ \manybrak[]\xlu{\quad 0,04x} & \xlu{{}+ 0,14y =} & \xlu{0,14} & \\ & 0,10y = & 0,06 \qquad & \vert : 0,10 \\ & y = & 0,6 & \\ & & & \\ x & + y = & 2 & \vert ~ y = 0,6 \\ & x = & 1,4 & }$

Vastaus

Ensimmäisestä astiasta otetaan 1,4 litraa ja toisesta 0,6 litraa.