Verranto - Yhtälöiden osaaminen

Verrantoa voidaan käyttää monenlaisten ongelmien ratkaisussa:

matkaan käytetty aika ja nopeus
tavaran määrä ja hinta
verotettavan tulon ja veron määrä
työaika ja työpalkka
muuntajan jännite ja käämin kierrosluku

A) Esimerkkejä verrannon ratkaisemisesta

Ratkaise verrantomuotoiset yhtälöt.

Esim. 1

$\dfrac{x}{7}=\dfrac{6}{21}$

Kerrotaan ”ristiin” verrantoyhtälön vasemmalta ylhäältä $x$ ja oikealta alhaalta 21. Samoin 7 ja 6.

$\begin{align*}\dfrac{x}{7}=\dfrac{6}{21}\\21 \cdot x &= 7 \cdot 6\\21x &= 42\ \parallel : 21\\x &=\frac {42}{21}\\x &= 2\end{align*}$

Vastaus: $x=2$ .

Esim. 2

$\dfrac{3{,}5}{7}=\dfrac{x}{8}$

$\begin{align*}\dfrac{3{,}5}{7}&=\dfrac{x}{8}\\7 \cdot x &= 3{,}5 \cdot 8\\7x &= 28\ \parallel : 7\\x &=\frac {28}{7}\\x &= 4\end{align*}$

Vastaus: $x=4$ .

B) Verrannon muodostaminen

Suoraan verrannollisuus

Suureet ovat suoraan verrannollisia, kun ne suurenevat tai pienenevät samassa suhteessa.

Esim. 3 Jos 3 kg perunaa maksaa 2,25 €, kuinka paljon maksaa 5 kg perunaa?

Laaditaan tiedoista taulukko. Merkitään tuntematonta hintaa $x$ :llä.

Kirjoitetaan ja ratkaistaan verrantoyhtälö:

$\begin{align*}\frac{3}{5}&=\frac{2{,}25}{x}\\3 \cdot x &= 5 \cdot 2{,}25\\3x &= 11{,}25\ \parallel : 3\\x &=3{,}75\end{align*}$

Vastaus: 5 kg perunoita maksaa 3,75 €.

Esim. 4 Seppo pyöräili 6 kilometrin matkan 18 minuutissa. Kuinka kauan kestäisi 20 kilometrin matka samalla nopeudella?

Laaditaan tiedoista taulukko. Merkitään tuntematonta aika $x$ :llä.

Kirjoitetaan ja ratkaistaan verrantoyhtälö:

$\begin{align*}\frac{6}{20}&=\frac{18}{x}\\6 \cdot x &= 20 \cdot 18\\6x &= 360\ \parallel : 6\\x &=60\end{align*}$

Vastaus: 20 kilometrin matka kestää 60 minuuttia eli 1 h.

Kääntäen verrannollisuus

Suureet ovat kääntäen verrannollisia, kun toisen kasvaessa toinen pienenee samassa suhteessa. Verranto ratkaistaan kääntämällä toinen suhteista.

Esim. 5 Matkaan opiskelupaikkakunnalta kotiin kuluu autolla 1 h 25 min, jos keskinopeus on 80 km/h. Kuinka kauan matka kestäisi, jos keskinopeus olisi huonon ajokelin takia 70 km/h?

1 h 25 min = 60 min + 25 min = 85 min.

Laaditaan tiedoista taulukko. Merkitään tuntematonta aikaa $x$ :llä.

Käännetään toinen suhteista ylösalaisin. Kirjoitetaan ja ratkaistaan verrantoyhtälö:

$\begin{align*}\frac{80}{70}&=\frac{x}{85}\\70 \cdot x &= 80 \cdot 85\\70x &= 6800\ \parallel : 6\\x &=97{,}14\ldots\\x &\approx 97\end{align*}$

Voidaan ilmoittaa aika 97 minuuttia tunteina ja minuutteina: 97 min = 1 h 37 min.

Vastaus: Matka kestää 97 minuuttia eli 1 h 37 min.