Keskiluvut

Tehtävät

Määritelmä

Lukujen x_1, x_2, x_3, …, x_n

  • keskiarvo on

        \begin{align*}\overline{x}&=\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}\\&=\dfrac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}\\\end{align*}

Huom! Keskiarvon lauseke voidaan ilmoittaa myös muodossa:

    \[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}\]

  • tyyppiarvo eli moodi on se luku tai ne luvut, joita aineistossa esiintyy eniten,
  • mediaani on suuruusjärjestyksessä keskimmäinen luku (tai kahden keskimmäisen luvun keskiarvo, jos aineistossa on parillinen määrä lukuja).

Esim. 1 Laske arvosanojen H3, T1, K5, T2, H4, H3 keskiarvo, moodi ja mediaani.

Arvosanoja on 6 kappaletta eli parillinen määrä.

Keskiarvo on

    \begin{align*}\overline{x}&=\frac{3+1+5+2+4+3}{6}\\&=\frac{18}{6}\\&=3\end{align*}

Vastaus: Keskiarvo on H3.

Moodi on 3, koska sitä arvosanaa on eniten.

Vastaus: Moodi on H3.

Mediaanin määrittämiseksi laitetaan arvosanat suuruusjärjestykseen.

1, 2, 3, 3, 4, 5

Koska arvosanoja on parillinen määrä, mediaani on kahden keskimmäisen keskiarvo.

Mediaani = \dfrac{3+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3.

Vastaus: Mediaani on H3.

Esim. 2 Luokan tyttöjen pituuksien keskiarvo on 164 cm ja poikien pituuksien keskiarvo on 176 cm. Tyttöjä on 8 ja poikia 6. Mikä on koko luokan pituuksien keskiarvo?

    \begin{align*}\overline{x}&=\frac{8 \cdot 164 + 6 \cdot 176}{8+6}\\&=\frac{1312+1076}{14}\\&=\frac{2368}{14}\\&=169{,}14\ldots\\&\approx 169\end{align*}

Vastaus: Pituuksien keskiarvo on 169 cm.

Esim. 3 Seppo sai kolmelta kurssilta seuraavat arvosanat:

Sepon arvosanataulukko.

a) Laske kurssien keskiarvo ilman osaamispistemäärien painotusta.

Kursseja on kolme kappaletta. 

    \begin{align*}\overline{x}&=\frac{3+5+1}{3}\\&=\frac{9}{3}\\&=3\end{align*}

Vastaus: Arvosanojen keskiarvo on H3.

b) Laske kurssien painotettu keskiarvo.

Nyt kursseja ajatellaan olevan 1 + 1+ 5 = 7 kappaletta.

    \begin{align*}\overline{x}&=\frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 5 \cdot 1}{7}\\&=\frac{3+5+5}{7}\\&=\frac{13}{7}\\&=1{,}857\ldots\\&\approx 2\end{align*}

Vastaus: Arvosanojen painotettu keskiarvo on T2.