4 Korkolaskenta

4.1 Korkolaskennan perusteet

Tarkastellaan koron määriytymistä yhden vuoden aikana, kun huomioidaan lähdevero.

Esimerkki 1. Talletetaan 650 € yhdeksi vuodeksi tilille, jolle maksetaan korkoa 0,54 %.
a) Kuinka paljon yhden vuoden aikana maksettava korko on?
b) Pankki perii maksettavan määrän korosta 30 %, jonka se tilittää valtiolle. Tätä kutsutaan lähdeveroksi. Kuinka paljon tilille maksetaan korkoa?
c) Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden päästä yhteensä?

Ratkaisu

a) Koska 0,54 % = 0,0054, koron määrä on 0{,}0054\cdot650\ \EUR=3{,}51\ \EUR.

b) Veroa peritään 30 % eli 0{,}30\cdot3{,}51\ \EUR=1{,}053\ \EUR\approx1{,}05\ \EUR. Koron määrä, joka maksetaan tilille veron perimisen jälkeen, on siis 3{,}51\ \EUR-1{,}05\ \EUR=2{,}46\ \EUR.

c) Koron maksamisen jälkeen tilillä on rahaa 650\ \EUR+2{,}46\ \EUR=652{,}46\ \EUR.

4.2 Koronkorko

Tarkastellaan, kuinka suureksi talletus muuttuu, kun vuosittain pääoma kasvaa tietyn nettokorkokannan mukaisesti.

Esimerkki 2. Talletetaan pääoma 300 €. Lasketaan, kuinka paljon pääoma kasvaa vuosittain, kun nettokorkokanta on 1,2 %.

Ratkaisu

Pääoma kasvaa vuosittain 1,2 %, joten jokaisen vuoden kuluttua pääoma on aina 1,2 % + 100 % = 101,2 % vuoden alun pääomasta. Tämä tarkoittaa, että pääoma kasvaa vuosittain 1,012-kertaiseksi.

Vuoden päästä pääoman, johon on laskettu mukaan vuoden aikana kertynyt korko, suuruus on

    \[ 300\ \EUR\cdot1{,}012=303{,}60\ \EUR \]

Toisena vuotena tämä muuttunut pääoma kasvaa jälleen korkoa 1,2 %, joten talletuksen suuruus on

    \[ 303{,}60\ \EUR\cdot1{,}012=307{,}2432\ \EUR \approx\ 307{,}24\ \EUR \]

Merkitään toisen vuoden jälkeen muuttuneen pääoman laskemista siten, että ensimmäisen vuoden laskutoimitus 300\ \EUR\cdot1{,}012 kerrotaan 1,012:lla:

    \[ 300\ \EUR\cdot\overset{2}{\overbrace{1{,}012\cdot1{,}012}} \]

Käytetään potenssimerkintää:

    \[ 300\ \EUR \cdot 1{,}012^2=307{,}24\ \EUR \]

Alla olevassa taulukossa on laskelmat, kun vuosia on kulunut 1, 2, 3, … n.

Aika (vuotta) Pääoma (€)
1 300\cdot1{,}012=303{,}60
2 300\cdot\overset{2}{\overbrace{1{,}012\cdot1{,}012}}=300\cdot1{,}012^2}=307{,}24
3 300\cdot\overset{3}{\overbrace{1{,}012\cdot1{,}012\cdot1{,}012}}=300\cdot1{,}012^3=310{,}93
n 300\cdot\overset{n}{\overbrace{1{,}012\cdot1{,}012\cdot\ldots\cdot1{,}012}}=300\cdot1{,}012^n

Koronkoron laskemisessa on käytetty lauseketta

    \[\boxed{K=k\cdot q^n}\]


Lausekkeessa K on kasvanut pääoma, k alkupääoma, q korkokerroin ja n vuosien lukumäärä.
Kun k=300\ \EUR, q=1{,}012 ja n=3, kasvanut pääoma kolmen vuoden päästä on siis

    \[ K=300\ \EUR\cdot 1{,}012^3=310{,}93\ \EUR \]

4.3 Alkuperäisen talletuksen määrä

Tarkastellan, mikä on ollut alkuperäisen talleuksen suuruus, kun se on korottunut tietyn suuruiseksi tietyn nettokorkokannan mukaisesti. Tämä on nimeltään diskonttaus.

Alkuperäisen talletuksen suuruus voidaan laskea lausekkeella

    \[\boxed{k=K⋅q^{-n}\ },\]


jossa k on pääoman nykyarvo, K kasvanut pääoma, q korkokerroin ja n vuosien lukumäärä.

Esimerkki 3. Kuinka suuri pääoma pitää tallettaa tilille, jotta 15 vuoden päästä talletuksen suuruus olisi 800 euroa? Tilille maksettava nettokorkokanta on koko ajan 0,75 %.

Koska nettokorkokanta on 0,75 %, kasvaa pääoma vuosittain 100 % + 0,75 % = 100,75 %. Korkokerroin q on siten 1,0075.

Sijoitetaan lukuarvot K=800\ \EUR, q=1{,}0075 ja n=15, jolloin alkuperäisen talletuksen suuruus on

    \[ k=800\ \EUR\cdot 1{,}0075^{-15}=715{,}1780\ \EUR\approx 715{,}18\ \EUR \]

Vastaus Alkuperäinen pääoma on 715,18 €

4.4 Korkokertoimen ja talletusajan määrittäminen

Tarkastellaan, miten koronkoron lausekkesta voidaan ratkaista korkokerroin ja talletusaika, kun lausekkeen muut lukuarvot tiedetään.

Esimerkki 4. Talletaan vuoden alussa tilille 600 euroa.
a) Kuinka monta prosenttia pääoman pitäisi kasvaa vuosittain, jotta se kasvaisi 12 vuodessa 660 euroon?
b) Kuinka monen vuoden päästä pääoma on kasvanut 800 euroon, jos tilin nettokorkokanta on 0,9 %?

Ratkaisu

a) Sijoitetaan yhtälöön K=k\cdot q^n kasvanut pääoma K=660\ \EUR, alkupääoma k=600\ \EUR ja vuosien lukumäärä n=12. Ratkaistaan yhtälöstä korkokerroin q.

    \[ \begin {align*} 660 &=600\cdot q^{12} \; |:600 \\ q^{12}&=1{,}1 \\ q &=\sqrt[12]{1{,}1} \\ q &=1{,}007974 \ldots \end{align*} \]

Pääoma tulee joka vuosi 1,007974… -kertaiseksi eli se kasvaa 100,7974 % – 100 % = 0,7974… % ≈ 0,80 %.

Vastaus: Pääoman pitää kasvaa vuosittain 0,80 %.

b) Koska nettokorkokanta on 0,9 %, pääoma on joka vuoden päästä 100 % + 0,9 % = 100,9 % vuoden alun pääomasta. Korkokertoimeksi tulee siten 1,009. Sijoitetaan yhtälöön K=k\cdot q^n kasvanut pääoma K=800\ \EUR, alkupääoma k=600\ \EUR ja korkokerroin q=1{,}009. Ratkaistaan yhtälöstä vuosien lukumäärä n. Tässä tarvitaan eksponenttiyhtälön ratkaisukaavaa.

    \[ \begin {align*} 800 &=600\cdot 1{,}009^{n} \; ||\ :\ 600 \\ 1{,}009^{n}&=\frac{800}{600} \\ 1{,}009^{n}&=\frac{4}{3} \\ n &=\dfrac{\log\left(\dfrac{4}{3}\right)}{\log\left(1{,}009\right)}\\ n &=32{,}1083 \ldots \end{align*} \]

Koska korko maksetaan kerran vuodessa, pääoma ei ole vielä kasvanut 32 vuodessa 800 euroon. Aikaa kuluu siis 33 vuotta.

Vastaus: 33 vuoden päästä.

4.5 Alkupääoman määrittäminen

Selvitetään, mikä alkupääoma kasvaa tietyssä ajassa halutun suuruiseksi.

Esimerkki 5. Mikä alkupääoma pitää tallettaa tilille, jotta tilin saldo olisi 15 vuoden päästä 800 euroa? Nettokorkokanta on 0,65 %.

Ratkaisu

Sijoitetaan yhtälöön K=k\cdot q^n kasvanut pääoma K=800\ \EUR, vuosien lukumäärä n=15 ja korkokerroin q=1{,}0065. Ratkaistaan yhtälöstä alkupääoma k.

    \[ \begin {align*} 800&=k\cdot 1{,}0065^{15} \; |\ :\ 1{,}0065^{15} \\ k &=\frac{800}{1{,}0065^{15}} \\ k &=725{,}910 \ldots \\ k &\approx 725{,}91 \end {align*} \]

Vastaus: Alkupääoman pitää olla 725,91 €.