{"id":277,"date":"2020-03-31T11:15:48","date_gmt":"2020-03-31T08:15:48","guid":{"rendered":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/?page_id=277"},"modified":"2020-04-13T18:30:24","modified_gmt":"2020-04-13T15:30:24","slug":"trigonometria","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/","title":{"rendered":"Trigonometria"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

Suorakulmaisessa kolmioissa ter\u00e4v\u00e4lle kulmalle \"\alpha\" on voimassa seuraavat sivujen pituuksien suhteet:<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{ \sin \alpha =\frac{a}{c}}\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{ \cos \alpha =\frac{b}{c}}\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{ \tan \alpha =\frac{a}{b}}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Yll\u00e4 olevien lausekkeiden avulla voidaa m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia.<\/p>\n\n\n\n

Kolmion kulmien suuruuksista<\/h4>\n\n\n\n

Kaikkien kolmioiden kulmien summa on \"180^\circ\". Koska suorakulmaisessa kolmiossa on yksi suorakulma eli kulma, jonka suuruus on \"90^\circ\", niin kaksi muuta kulmaa ovat ter\u00e4vi\u00e4 kulmia ja niiden suuruus on yhteens\u00e4 \"90^\circ\".<\/p>\n\n\n\n

Esimerkki 1<\/div>\n\n\n\n

M\u00e4\u00e4rit\u00e4 alla olevan kolmion kulman \"\alpha\" suuruus.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Koska kolmion on suorakulmainen, toisen ter\u00e4v\u00e4n kulman suuruus <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\alpha + 35^\circ &= 90^\circ\\\alpha&=90^\circ - 35^\circ\\&=55^\circ\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Esimerkki 2<\/div>\n\n\n\n

M\u00e4\u00e4rit\u00e4 alla olevan suorakulmaisen kolmion kateetin \"x\" pituus.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Tuntemattoman sivun (eli kulman \"30^\circ\" vastaisen sivun) pituuden suhde hypotenuusan pituuteen on \"\sin30^\circ\". Ratkaistaan sivun \"x\" pituus. J\u00e4tet\u00e4\u00e4n sivun pituuden yksikk\u00f6 pois teht\u00e4v\u00e4n ratkaisuvaiheessa.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\sin 30^\circ&=\frac{x}{4{,}0}\ \|\cdot 4{,}0\\ 4{,}0 \cdot \sin 30^\circ &=x\\x&= 4{,}0 \cdot \sin 30^\circ\\&=2{,}0\ (\text{cm}) \end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Kateetin pituus on \"2{,}0\ \text{cm}\".<\/p>\n\n\n\n

Esimerkki 3<\/div>\n\n\n\n

M\u00e4\u00e4rit\u00e4 alla olevan suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\cos 52^\circ &=\frac{4{,}5}{x}\ \|\cdot x\\x \cdot \cos 52^\circ&= 4{,}5\ \|:\cos 52^\circ\\x&=\frac{4{,}5}{\cos 52^\circ}\\&=7{,}3092...\\&\approx 7{,}3\ (\text{cm}) \end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Hypotenuusan pituus on \"7{,}3\ \text{cm}\".<\/p>\n\n\n\n

Esimerkki 4<\/div>\n\n\n\n

M\u00e4\u00e4rit\u00e4 alla olevan suorakulmaisen kolmion kulman \"\alpha\" suuruus.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\tan \alpha&=\frac{1{,}5}{3{,}6}\\&=0{,}41667\\\alpha&=22{,}6199^\circ\\&\approx 23^\circ\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Kysytyn kulman suuruus on \"23^\circ\".<\/p>\n\n\n\n

Esimerkki 5<\/div>\n\n\n\n

Kolmiota, jolla on kaksi yht\u00e4 pitk\u00e4\u00e4 sivua, kutsutaan tasakylkiseksi kolmioksi. Alla olevassa kolmiossa huippukulma on \"80^\circ\", ja kolmion kylkien pituus on \"5{,}0\ \text{cm}\".
a) M\u00e4\u00e4rit\u00e4 kolmion kantakulmat.
b) M\u00e4\u00e4rit\u00e4 kolmion korkeus.
c) M\u00e4\u00e4rit\u00e4 kolmion pinta-ala.<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n kuvio.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p> <\/p>\n\n\n\n

a) Kolmion huippukulman puolikas on \"\dfrac{80^\circ}{2}=40^\circ\".
Kantakulman suuruus on<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\alpha+40^\circ&=90^\circ\\\alpha&=90^\circ - 40^\circ\\&=50^\circ\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p> <\/p>\n\n\n\n

b) Kolmion korkeus \"h\" on<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\cos 40^\circ&=\frac{h}{5{,}0}\ \|\cdot 5{,}0\\h&=5{,}0 \cdot \cos 40^\circ\\&=3{,}8302...\\&\approx 3{,}8\ (\text{cm})\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Kolmion korkeus on \"3{,}8\ \text{cm}\".<\/p>\n\n\n\n

c) Lasketaan kolmion kantasivun pituus. Kantasivun pituuden puolikasta on merkitty \"x\":ll\u00e4. Sen pituus on<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\cos 50^\circ &=\frac{x}{5{,}0}\ \|\cdot 5{,}0\\x&=5{,}0 \cdot \cos 50^\circ\\&=3{,}2139...\ (\text{cm})\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Kantasivu on \"2 \cdot 3{,}2139... =6{,}4278...\ (\text{cm})\"<\/p>\n\n\n\n

Kolmion pinta-ala on<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{ 6{,}4278 \cdot 3{,}8302 }{2}=12{,}3099\ (\text{cm}^2) \approx 12\ (\text{cm}^2)\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Kolmion pinta-ala on \"12\ \text{cm}^2\".<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Suorakulmaisessa kolmioissa ter\u00e4v\u00e4lle kulmalle on voimassa seuraavat sivujen pituuksien suhteet:             Yll\u00e4 olevien lausekkeiden avulla voidaa m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Kolmion kulmien suuruuksista Kaikkien kolmioiden kulmien summa on . Koska suorakulmaisessa kolmiossa on yksi suorakulma eli kulma, jonka suuruus on , niin kaksi muuta kulmaa ovat … Jatka lukemista Trigonometria<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":111,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"class_list":["post-277","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"\nTrigonometria - Geometrian osaaminen<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Trigonometria - Geometrian osaaminen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Suorakulmaisessa kolmioissa ter\u00e4v\u00e4lle kulmalle on voimassa seuraavat sivujen pituuksien suhteet:             Yll\u00e4 olevien lausekkeiden avulla voidaa m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Kolmion kulmien suuruuksista Kaikkien kolmioiden kulmien summa on . Koska suorakulmaisessa kolmiossa on yksi suorakulma eli kulma, jonka suuruus on , niin kaksi muuta kulmaa ovat … Jatka lukemista Trigonometria →\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Geometrian osaaminen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-04-13T15:30:24+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"4 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/\",\"url\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/\",\"name\":\"Trigonometria - Geometrian osaaminen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/#website\"},\"datePublished\":\"2020-03-31T08:15:48+00:00\",\"dateModified\":\"2020-04-13T15:30:24+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Trigonometria\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/\",\"name\":\"Geometrian osaaminen\",\"description\":\"Yhteiset opinnot\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Trigonometria - Geometrian osaaminen","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Trigonometria - Geometrian osaaminen","og_description":"Suorakulmaisessa kolmioissa ter\u00e4v\u00e4lle kulmalle on voimassa seuraavat sivujen pituuksien suhteet:             Yll\u00e4 olevien lausekkeiden avulla voidaa m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Kolmion kulmien suuruuksista Kaikkien kolmioiden kulmien summa on . Koska suorakulmaisessa kolmiossa on yksi suorakulma eli kulma, jonka suuruus on , niin kaksi muuta kulmaa ovat … Jatka lukemista Trigonometria →","og_url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/","og_site_name":"Geometrian osaaminen","article_modified_time":"2020-04-13T15:30:24+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"4 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/","name":"Trigonometria - Geometrian osaaminen","isPartOf":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/#website"},"datePublished":"2020-03-31T08:15:48+00:00","dateModified":"2020-04-13T15:30:24+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/trigonometria\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Trigonometria"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/#website","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/","name":"Geometrian osaaminen","description":"Yhteiset opinnot","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false},"uagb_author_info":{"display_name":"Hannu Tabell","author_link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/author\/htabell\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Suorakulmaisessa kolmioissa ter\u00e4v\u00e4lle kulmalle on voimassa seuraavat sivujen pituuksien suhteet:             Yll\u00e4 olevien lausekkeiden avulla voidaa m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Kolmion kulmien suuruuksista Kaikkien kolmioiden kulmien summa on . Koska suorakulmaisessa kolmiossa on yksi suorakulma eli kulma, jonka suuruus on , niin kaksi muuta kulmaa ovat…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/277","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/111"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=277"}],"version-history":[{"count":127,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/277\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":678,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/277\/revisions\/678"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/geometrianosaaminen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=277"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}