Trigonometria - Geometrian osaaminen

Suorakulmaisessa kolmioissa terävälle kulmalle $\alpha$ on voimassa seuraavat sivujen pituuksien suhteet:

Rendered by QuickLaTeX.com

$\boxed{ \sin \alpha =\frac{a}{c}}$

$\boxed{ \cos \alpha =\frac{b}{c}}$

$\boxed{ \tan \alpha =\frac{a}{b}}$

Yllä olevien lausekkeiden avulla voidaa määrittää suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia.

Kolmion kulmien suuruuksista

Kaikkien kolmioiden kulmien summa on $180^\circ$ . Koska suorakulmaisessa kolmiossa on yksi suorakulma eli kulma, jonka suuruus on $90^\circ$ , niin kaksi muuta kulmaa ovat teräviä kulmia ja niiden suuruus on yhteensä $90^\circ$ .

Esimerkki 1

Määritä alla olevan kolmion kulman $\alpha$ suuruus.

Rendered by QuickLaTeX.com

Koska kolmion on suorakulmainen, toisen terävän kulman suuruus

$\begin{align*}\alpha + 35^\circ &= 90^\circ\\\alpha&=90^\circ - 35^\circ\\&=55^\circ\end{align*}$

Esimerkki 2

Määritä alla olevan suorakulmaisen kolmion kateetin $x$ pituus.

Rendered by QuickLaTeX.com

Tuntemattoman sivun (eli kulman $30^\circ$ vastaisen sivun) pituuden suhde hypotenuusan pituuteen on $\sin30^\circ$ . Ratkaistaan sivun $x$ pituus. Jätetään sivun pituuden yksikkö pois tehtävän ratkaisuvaiheessa.

$\begin{align*}\sin 30^\circ&=\frac{x}{4{,}0}\ \|\cdot 4{,}0\\ 4{,}0 \cdot \sin 30^\circ &=x\\x&= 4{,}0 \cdot \sin 30^\circ\\&=2{,}0\ (\text{cm}) \end{align*}$

Vastaus: Kateetin pituus on $2{,}0\ \text{cm}$ .

Esimerkki 3

Määritä alla olevan suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus.

Rendered by QuickLaTeX.com

$\begin{align*}\cos 52^\circ &=\frac{4{,}5}{x}\ \|\cdot x\\x \cdot \cos 52^\circ&= 4{,}5\ \|:\cos 52^\circ\\x&=\frac{4{,}5}{\cos 52^\circ}\\&=7{,}3092...\\&\approx 7{,}3\ (\text{cm}) \end{align*}$

Vastaus: Hypotenuusan pituus on $7{,}3\ \text{cm}$ .

Esimerkki 4

Määritä alla olevan suorakulmaisen kolmion kulman $\alpha$ suuruus.

Rendered by QuickLaTeX.com

$\begin{align*}\tan \alpha&=\frac{1{,}5}{3{,}6}\\&=0{,}41667\\\alpha&=22{,}6199^\circ\\&\approx 23^\circ\end{align*}$

Vastaus: Kysytyn kulman suuruus on $23^\circ$ .

Esimerkki 5

Kolmiota, jolla on kaksi yhtä pitkää sivua, kutsutaan tasakylkiseksi kolmioksi. Alla olevassa kolmiossa huippukulma on $80^\circ$ , ja kolmion kylkien pituus on $5{,}0\ \text{cm}$ .
a) Määritä kolmion kantakulmat.
b) Määritä kolmion korkeus.
c) Määritä kolmion pinta-ala.

Piirretään kuvio.

Rendered by QuickLaTeX.com

a) Kolmion huippukulman puolikas on $\dfrac{80^\circ}{2}=40^\circ$ .
Kantakulman suuruus on

$\begin{align*}\alpha+40^\circ&=90^\circ\\\alpha&=90^\circ - 40^\circ\\&=50^\circ\end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

b) Kolmion korkeus $h$ on

$\begin{align*}\cos 40^\circ&=\frac{h}{5{,}0}\ \|\cdot 5{,}0\\h&=5{,}0 \cdot \cos 40^\circ\\&=3{,}8302...\\&\approx 3{,}8\ (\text{cm})\end{align*}$

Vastaus: Kolmion korkeus on $3{,}8\ \text{cm}$ .

c) Lasketaan kolmion kantasivun pituus. Kantasivun pituuden puolikasta on merkitty $x$ :llä. Sen pituus on

$\begin{align*}\cos 50^\circ &=\frac{x}{5{,}0}\ \|\cdot 5{,}0\\x&=5{,}0 \cdot \cos 50^\circ\\&=3{,}2139...\ (\text{cm})\end{align*}$

Kantasivu on $2 \cdot 3{,}2139... =6{,}4278...\ (\text{cm})$

Kolmion pinta-ala on

$\dfrac{ 6{,}4278 \cdot 3{,}8302 }{2}=12{,}3099\ (\text{cm}^2) \approx 12\ (\text{cm}^2)$

Vastaus: Kolmion pinta-ala on $12\ \text{cm}^2$ .