Avaruusgeometria

Tehtävät

1 Suorakulmainen särmiö

Rendered by QuickLaTeX.com

Suorakulmiaisen särmiön tilavuus V saadaan kertomalla pohjan pinta-ala korkeudella. Koska pohjan pinta-ala on suorakulmion pinta-ala, niin nämä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

    \[ \boxed{ V=A_\text{p}h=abh }\]

Suorakulmiaisen särmiön vaipan pinta-ala saadaan laskemalla kaikkien sivutahkojen pinta-alat yhteen. Yksi sivutaho on suorakulmion muotoinen.

    \[ \boxed{ A=2\cdot ab+ 2\cdot ah+2 \cdot bh }\]

Esimerkki 1

Postipaketin koko on 100\ \text{cm} \cdot 60\ \text{cm} \cdot 60\ \text{cm}. Laske paketin tilavuus
a) kuutiosenttimetreinä,
b) litroina.

Ratkaisu:

a) Paketin tilavuus on

    \[V= 100\ \text{cm} \cdot 60\ \text{cm} \cdot 60\ \text{cm} =360000\ \text{cm}^3\]

Vastaus: Tilavuus on 360000\ \text{cm}^3

b) Tilavuus muutetaan litroiksi eli kuutiodesimetreiksi jakamalla tuhannella tai siirtämällä pilkkua kolmen numeron yli vasemmalle.

(360000:1000)\ \text{l}=360\ \text{l}

Vastaus: Tilavuus on 360\ \text{l}.

2 Kuutio

Kuutio on suorakulmaisen särmiön erikoistapaus, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä.

Rendered by QuickLaTeX.com

Kuution tilavuus on

    \[ \boxed{ V=A_\text{p}a=(a\cdot a)\cdot a=a^3 }\]

Kuution vaipan pinta-ala on

    \[ \boxed{ A=6\cdot a\cdot a=6a^2 }\]

Esimerkki 2

Kuution vaipan pinta-ala on 150\ \text{cm}^2. Määritä kuution sivun pituus.

Ratkaisu: Yhden sivutahkon pinta-ala on

    \[\dfrac{150\ \text{cm}^2}{6}=25\ \text{cm}^2\]

Sivun pituus saadaan ratkaistua yhden tahkon pinta-alasta:

    \begin{align*}a^2&=25\ \text{cm}^2\ \|\sqrt{\ }\\a&=\sqrt{ 25\ \text{cm}^2 }\\&=5{,}0\ \text{cm}\end{align*}

Vastaus: Sivun pituus on 5{,}0\ \text{cm}.

3 Lieriö

Piirretään ympyräpohjainen suora lieriö (vaippa on kohtisuorassa pohjaa vastaan), jonka säde on r ja korkeus h.

Rendered by QuickLaTeX.com

Lieriön tilavuus on

    \[ \boxed{ V=\pi r^2 h }\]

Lieriön vaipan ala on

    \[ \boxed{ A_\text{v}=2\pi r h }\]

Esimerkki 3

Säilykepurkin korkeus on 9,0 cm ja halkaisija 6,0 cm. Laske säilykepurkin
a) vaipan pinta-ala,
b) tilavuus kuutiosenttimetreinä, millilitroina ja desilitroina.

Ratkaisu:

a) Säilykepurkki on suora, ympyräpohjainen lieriö, jonka pohjaympyrän säde on

r=\dfrac{6{,}0\ \text{cm}}{2}=3{,}0\ \text{cm}.

Vaipan pinta-ala on

    \begin{align*}A_\text{V}&=2\pi r h\\&=2 \cdot \pi \cdot 3{,}0\ \text{cm}\cdot 9{,}0\ \text{cm}\\&=169{,}646\ \text{cm}^2\\&\approx 170\ \text{cm}^2\end{align*}

Vastaus: Vaipan pinta-ala on 170\ \text{cm}^2.

b) Lieriön tilavuus on

    \begin{align*}V&=\pi r^2 h\\&=\pi \cdot (3{,}0\ \text{cm})^2 \cdot 9{,}0\ \text{cm}\\&=254{,}469\ \text{cm}^3\\&\approx 250\ \text{cm}^3\end{align*}

Muutetaan tilavuus millilitroiksi ja deslitroiksi:

250\ \text{cm}^3=250\ \text{ml} = 2{,}5\ \text{dl}

Vastaus: Tilavuus on 250\ \text{cm}^3 eli 250\ \text{ml} eli 2{,}5\ \text{dl}.

4 Kartio

Ympyräpohjaisen suoran kartion tilavuus

Piirretään ympyräpohjainen suora kartio (huipusta piirretty korkeusjanan toinen päätepiste on pohjankeskipisteessä). Pohjaympyrän säde on r. Kartion korkeus h on kohtisuorassa sädettä vastaan. Kartion sivun pituus on s.

Rendered by QuickLaTeX.com

Ympyräpohjaisen suoran kartion tilavuus on

    \[ \boxed{ V=\frac{\pi r^2 h}{3} }\]

Ympyräpohjaisen suoran kartion vaipan pinta-ala

Kun kartio avataan, niin syntyvä alue on ympyräsektori, jonka kaaren pituus b on sama kuin kartion pohjaympyrän piiri eli b=2\pi r.

Alla oleva kuva havainnollistaa tilannetta.

Rendered by QuickLaTeX.com

Ympyräpohjaisen suoran kartion vaipan pinta-ala on

    \[\boxed{A_\text{v}=\pi r s}\]

Neliöpohjaisen suoran kartion tilavuus

Piirretään neliöpohjainen suora kartio. Pohjaneliön sivun pituus on a. Kartion korkeus h on kohtisuorassa pohjaa vastaan. Kyseessä on siis pyramidi.

Rendered by QuickLaTeX.com

Neliöpohjaisen suoran kartion tilavuus on

    \[\boxed{V=\frac{a^2h}{3}}\]

Neliöpohjaisen suoran kartion vaipan pinta-ala

Vaippa koostuu neljästä yhtä suuresta kolmiosta, joiden yhteenlaskettu pinta-ala on vaipan pinta-ala.

Esimerkki 4

Jäätelötuutin korkeus on 11 cm ja suuaukon halkaisija on 7,0 cm. Laske tuutin tilavuus kuutiosenttimetreinä ja desilitoina.

Ratkaisu: Jäätelötuutti on ympyräpohjainen suora kartio, jonka suuaukon säde on

r=\dfrac{7{,}0\ \text{cm}}{2}=3{,}5\ \text{cm}

Tilavuus on

    \begin{align*}V&=\frac{\pi r^2h}{3}\\&=\frac{\pi \cdot (3{,}5\ \text{cm})^2 \cdot 11\ \text{cm}}{3}\\&=141{,}10987\ \text{cm}^3\\&\approx 140\ \text{cm}^3\end{align*}

Muutetaan tilavuus desilitroiksi:

140\ \text{cm}^3=140\ \text{ml} =1,4\ \text{dl}

Vastaus: Tilavuus on 140\ \text{cm}^3 =1,4\ \text{dl}

5 Pallo

Rendered by QuickLaTeX.com

Pallon tilavuus on

    \[ \boxed{ V=\frac{4\pi r^3}{3} }\]

Pallon pinta-ala on

    \[ \boxed{ A=4\pi r^2 }\]

Esimerkki 5

Pallonmuotoisen juuston läpimitta on 9,0 cm. Tämän kokoinen juusto maksaa 5,90 €. Juuston tiheys on 1,1\ \text{g}/\text{cm}^3. Laske juustopallon
a) pinta-ala,
b) tilavuus,
c) massa,
d) kilogrammahinta.

Ratkaisu:

a) Juustopallon säde on puolet läpimitasta
r=\dfrac{9{,}0\ \text{cm}}{2}=4{,}5\ \text{cm}.

Pinta-ala on

    \begin{align*}A&=4 \pi r^2\\&=4 \cdot \pi \cdot (4{,}5\ \text{cm})^2\\&=254{,}469\ \text{cm}^\\&=\approx 250\ \text{cm}^2\end{align*}

Vastaus: Pinta-ala 250\ \text{cm}^2.

b) Tilavuus on

    \begin{align*}V&=\frac{4 \pi r^3}{3}\\&=\frac{4 \cdot \pi \cdot (4{,}5\ \text{cm})^3}{3}\\&=381{,}7035\ \text{cm}^3\\&\approx 380\ \text{cm}^3\end{align*}

Vastaus: Tilavuus on 380\ \text{cm}^3.

c) Massa (m) voidaan laskea tiheyden (\rho) ja tilavuuden (V) avulla seuraavasti:

    \[\boxed{m=\rho V}\]

Eli

    \[\boxed{\text{massa}=\text{tiheys}\cdot \text{tilavuus}}\]

Juustopallon massa on

    \begin{align*}m&=\rho V\\&=1{,}1\ \text{g}/\text{cm}^3 \cdot 381{,}7035\ \text{cm}^3\\&=419{,}8739\ \text{g}\\&\approx 420\ \text{g}\\&=0{,}42\ \text{kg}\end{align*}

Vastaus: Juustopallon massa on 420\ \text{g}.

d) Tuotteen kilogrammahinta lasketaan jakamalla tuotteen hinta (5,90 euroa) tuottaan massalla (0,4198739 kg).

    \[\dfrac{5{,}90\ \text{e}}{0{,}4198739\ \text{kg}}=14{,}0518\ \text{e}/\text{kg}\approx 14{,}05\ \text{e}/\text{kg}\]

Vastaus: Juuston kilogrammahinta on 5,90 €/kg.