Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 501, 502, 503, 504, 511<\/h4>\n\n\n\n501.<\/div>\n\n\n\nA-IV. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n- Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana
![\"x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edf6d5462aa989d30da6f7f7d6e93e0f_l3.png\" "\\"Rendered")
, joten paraabelin akseli on ![\"y\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1511b6d339e66309a4071bc95cfd9285_l3.png\" "\\"Rendered")
-akselin suuntainen.<\/li> - Sen kerroin
![\"1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fead2774e8b11a333e189478cefe74e_l3.png\" "\\"Rendered")
on positiivinen, joten aukeamissuunta on yl\u00f6sp\u00e4in.<\/li><\/ul>\n\n\n\nB-I. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n- Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li>
- Sen kerroin on positiivinen, joten aukeamissuunta on oikealle.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
C-II. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n- Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li>
- Sen kerroin
![\"-2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1316bfadf7aa2bd2fa52a823aec35b1c_l3.png\" "\\"Rendered")
on negatiivinen, joten aukamissuunta on vasemmalle.<\/li><\/ul>\n\n\n\nD-III. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n- Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li>
- Sen kerroin on positiivinen, joten aukeamissuunta on alasp\u00e4in.<\/li><\/ul>\n\n\n\n502. a)<\/div>\n\n\n\n
- Toisen asteen termiss\u00e4
![\"x^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2ca4728b515e2fd3e800be093faaf8d_l3.png\" "\\"Rendered")
on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> - Sen kerroin on positiivinen, joten aukamissuunta on yl\u00f6sp\u00e4in.<\/li>
- Paraabelin akseli on suora
![\"x=2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bdd4da3f2dc9e73b654f1db9e32739c_l3.png\" "\\"Rendered")
, koska paraabeli on yl\u00f6sp\u00e4in aukeava ja huipun -koordinaatti on ![\"2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00ac69dabbb1414f319584b1b7797538_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li><\/ul>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/502a_2.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 502. a.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n502. b)<\/div>\n\n\n\n- Toisen asteen termiss\u00e4
![\"y^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27a8342ff36d36c2648490e6261bcf82_l3.png\" "\\"Rendered")
on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> - Sen kerroin on positiivinen, joten aukamissuunta on oikealle.<\/li>
- Paraabelin akseli on suora
![\"y=-3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d30d996f1498e879f481b8d8cd459ae_l3.png\" "\\"Rendered")
, koska paraabeli on yl\u00f6sp\u00e4in aukeava ja huipun -koordinaatti on ![\"-3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7d9f62c4ec3728225eae2524ff9a00c_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li><\/ul>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/502b_2-1024x823.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 502. b.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n502. c)<\/div>\n\n\n\n- Toisen asteen termiss\u00e4
![\"-\dfrac{1}{3}x^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24b2bec2cd3220804d1b4afe79cc731d_l3.png\" "\\"Rendered")
on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> - Sen kerroin
![\"-\dfrac{1}{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4596672a2c75e157f07e1898d3981c36_l3.png\" "\\"Rendered")
on negatiivinen, joten aukamissuunta on alasp\u00e4in.<\/li> - Paraabelin akseli on suora
![\"x=3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cd53b936d250e712d52f088b7a5ccc0_l3.png\" "\\"Rendered")
, koska paraabeli on alasp\u00e4in aukeava ja huipun -koordinaatti on ![\"3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05db02a331d82ee0cac16ca358fd4d43_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li><\/ul>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/503c_2-1024x931.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 502. c.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n502. d)<\/div>\n\n\n\n- Toisen asteen termiss\u00e4
![\"-2y^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-600c98310a068812642a7c7e927964c5_l3.png\" "\\"Rendered")
on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> - Sen kerroin on negatiivinen, joten aukamissuunta on vasemmalle.<\/li>
- Paraabelin akseli on suora
![\"y=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf6e1fcc4feb9168c4a942e9d5f66cf7_l3.png\" "\\"Rendered")
, koska paraabeli on vasemmalle aukeava ja huipun -koordinaatti on .<\/li><\/ul>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/502d_2-1-1024x616.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 502. d.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n503. a)<\/div>\n\n\n\nParaabelin ![\"x=y^2-4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f06a088fe07e00302243956cab09947_l3.png\" "\\"Rendered")
ja -akselin leikkauspisteiss\u00e4 -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}y^2-4&=0\\y^2 &= 4\ \parallel\ \sqrt{\ }\\y &= \pm 2\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3812e0cc0279fe759931a1a042461710_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nLeikkauspisteet ovat ![\"(0,-2)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd458066e0a5f0b4ce45aaa61d7d95a8_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"(0,2)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c331781239057ecf05d995b0f2b86a2c_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Paraabelin huipun -koordinaatti on -akselin leikkauskohtien puoliv\u00e4liss\u00e4:<\/p>\n\n\n\n
![\"y=\dfrac{-2+2}{2}=\dfrac{0}{2}=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bfb2721f53fa770c20edfb590fc4680_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Huipun -koordinaatti on ![\"x=0^2-4=-4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f7a4eda28949bedc564ed6d2d8c67a_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Huippu on pisteess\u00e4 ![\"(-4,0)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76c62cad7c032f65daad6fdd962dd5ff_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Hahmotellaan paraabeli yll\u00e4 laskettujen pisteiden avulla koordinaatistoon. Paraabeli aukeamissuunta on oikealle, koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/503a_2-1024x807.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 503. a.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n503. b.<\/div>\n\n\n\nParaabelin ![\"x=-y^2+6y\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a757f4df78e5f59a0f8569d1d60cf5b_l3.png\" "\\"Rendered")
ja -akselin leikkauspisteiss\u00e4 -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}-y^2+6y&=0\\y(-y+6) &=0\\y &=0\ \text{tai}\ &-y+6&=0\\y &=0\ \text{tai}\ &y&=6&\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9416fe761a867c6e9659697e8566491_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nLeikkauspisteet ovat ![\"(0,0)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d61819dd4f83545e369543e301a4304_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"(0,6)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa970faf635e214d1d4d29bdd8f433ab_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Paraabelin huipun -koordinaatti on -akselin leikkauskohtien puoliv\u00e4liss\u00e4:<\/p>\n\n\n\n
![\"y=\dfrac{0+6}{2}=\dfrac{6}{2}=3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8252c963928154fcd09755c4ac341bbd_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Huipun -koordinaatti on ![\"x=-3^2+6 \codt 3=-9+18=9\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29b99ecf5ad5ee24a020eca64a1ccc0d_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Huippu on pisteess\u00e4 ![\"(-9,3)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f8a7dcc2ed01d82a401998b8a5dbbe0_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Hahmotellaan paraabeli yll\u00e4 laskettujen pisteiden avulla koordinaatistoon. Paraabeli aukeamissuunta on vasemmalle, koska toisen asteen termin kerroin ![\"-1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76ba9e0d80b3f7f53f43dfde22e2a166_l3.png\" "\\"Rendered")
on negatiivinen.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/503b_2-1024x789.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 503. b.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n504.<\/div>\n\n\n\nK\u00e4yr\u00e4 ![\"y^2 + x -2y -3 =0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c830442a5c1b34482248412442bdbc01_l3.png\" "\\"Rendered")
voidaan kirjoittaa muodossa ![\"x=-y^2+2y+3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cf9427359caf3bc4d442b5c52b08220_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Kysess\u00e4 on vasemmalle aukeava paraabeli, jonka leikkauspisteiss\u00e4 -akselin kanssa -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n
![\"x=-0^2+2 \cdot 0 + 3 = 3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f5581592bf155f45a7e129b8a81f42b_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Leikkauspiste on ![\"(3,0)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ddb726e6ede87702cb18f7cb69aa2258_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
K\u00e4yr\u00e4n ja -akselin leikkauspisteiss\u00e4 -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}-y^2+2y+3 &=0\ \parallel\ \cdot (-1)\\y^2-2y-3&=0\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8755c61d702632ce4306170e355e592d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nKysess\u00e4 on toisen asteen yht\u00e4l\u00f6. Ratkaistaan se, kun<\/p>\n\n\n\n
![\"\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-3\end{cases}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6d125974a941839f85101393c12af59_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}y&=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\\y&=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\\y&=\frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}\\y&=\frac{2 \pm 4}{2}\\y&=\frac{2 - 4}{2}=-\frac{-2}{2}=-1\\\text{tai}\\y&=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55cc52d0e31da8e75f017f7cfa958229_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nLeikkauspisteet ovat siten ![\"(0,-1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c43f4514ed1c7d1ef672ef55a2250848_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"(0,3)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74139725754eb88acfeb29f101120400_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Paraabelin huipun -koordinaatti on -akselin leikkauskohtien puoliv\u00e4liss\u00e4:<\/p>\n\n\n\n
![\"y=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a46e425be263eb19f5925017881a7f04_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Huipun -koordinaatti on ![\"x=-1^2+2 \cdot 1 +3 =-1+2+3=4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6621217feab9545408d17449b2ebe55b_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Huippu on pisteess\u00e4 ![\"(4,1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cedc120c68b95abb1497d485830b644d_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Hahmotellaan paraabelin kuvaaja yll\u00e4 olevien tietojen perusteella.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/504_2-1024x829.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 504.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n511.<\/div>\n\n\n\nParaabeli aukeaa oikealle, joten paraabelin yht\u00e4l\u00f6 on muotoa<\/p>\n\n\n\n
![\"x-x_0=a(y-y_0)^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb381634db22ca3ebb7f5e4376dacc7e_l3.png\" "\\"Rendered")
, miss\u00e4 ![\"a>0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3ea867d31e41d675760590498f65eb3_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Sijoitetaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n huipun ![\"(x_0,y_0)=(-4,2)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-569519ae6284c0e79e8cc51f6068f5cc_l3.png\" "\\"Rendered")
koordinaatit.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}x-x_0 &= a(y-y_0)^2\\x-(-4) &=a(y-2)^2\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f75567766b9dbb07a9f583d2d4be5da7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nParaabeli kulkee origon eli pisteen kautta, joten piste toteuttaa paraabelin yht\u00e4l\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}0-(-4) &=a(0-2)^2\\0+4 &=a(-2)^2\\4 &= a \cdot 4\\4a &=4\ \parallel : 4\\a&=\frac{4}{4}\\a&=1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88389c5ff5e3a9066dd9875842cd62f4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nSIjoitetaan paraabelin yht\u00e4l\u00f6\u00f6n ja ![\"a=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0f33dc2b3bab73adebe4d7c7f0d9d82_l3.png\" "\\"Rendered")
, jolloin saadaan<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}x-(-4) &= 1 \cdot (y-2)^2\\x+4 &=1 \cdot (y^2-4y + 4)\\x +4&= y^2 -4y +4\\x &=y^2 -4y +4-4\\x &=y^2-4y\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b44adc29082fcd18ef0a670ee3bf3c23_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nKotiteht\u00e4v\u00e4t 505, 506, 507, 513, 514, 515, 518<\/h4>\n\n\n\n505.<\/div>\n\n\n\nRatkaistaan suoran ja paraabelin leikkauspisteet. Ne saadaan yht\u00e4l\u00f6parista
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases}x+y=2\\y=x^2-4x+2\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb3c5235d7882d866ce313d3cfb4b0cd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 ![\"y=2-x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dca11ceef3dd32d17922e6fd6f59e10_l3.png\" "\\"Rendered")
ja sijoitetaan se paraabelin yht\u00e4l\u00f6\u00f6n.
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases}y=2-x\\y=x^2-4x+2\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18f9cf0edf3c80a65b12d18774748cf9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span>![\"\begin{align*}2-x&=x^2-4x+2 \\x^2-4x+x+2-2&=0\\x^2-3x&=0\\x(x-3)&=0\\x&=0\\\text{tai}\\x-3&=0\\x&=3\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ba4a9fd6074d2999039ddb2f754e62b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan :n arvot.
Kun ![\"x=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53716ee519f21325780331072ec0718a_l3.png\" "\\"Rendered")
, niin ![\"y=2-0=2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c562f3711ce53a713f51b51b628cd9d_l3.png\" "\\"Rendered")
. Leikkauspiste on .
Kun , niin ![\"y=2-3=-3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19ed653b78be38fc675a6f1688ff9420_l3.png\" "\\"Rendered")
. Leikkauspiste on ![\"(3,-1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99146107259b35dfdd7cbca4e8664803_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/506_2.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n506.<\/div>\n\n\n\nLasketaan paraabelien ![\"y=x^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a69170b091632a79f1d8cce8a385845_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"x=y^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e6596e473f16c719a76069bd1137677_l3.png\" "\\"Rendered")
leikkauspisteet yh\u00e4l\u00f6parista sijoitusmenetelm\u00e4ll\u00e4.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases}y=x^2\\x=y^2\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-869701c13354cdf758a362c802d39206_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nSijoitetaan alempaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n :n paikalle . T\u00e4ll\u00f6in<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}x&=(x^2)^2\\x&=x^4\\x^4-x&=0\\x(x^3-1)&=0\\x&=0\\\text{tai}\\x^3-1&=0\\x^3&=1\\x&=1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-93d41768545542815d96eb3b6a3179af_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nLasketaan :n arvot, kun
, niin ![\"y=0^2=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b832abe89716ada3831f50067035d7e6_l3.png\" "\\"Rendered")
ja
![\"x=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa35123a2caca6bc6d9a8e58dc2f8f63_l3.png\" "\\"Rendered")
, niin ![\"y=1^2=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac5013867c8b8a4a91f68ac697d73b02_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
Leikkauspisteet ovat ja ![\"(1,1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66661ced3c13a1543d4b5b0191cf3441_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/506_ok2.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n<\/p>\n\n\n\n
507.<\/div>\n\n\n\nParaabelin ![\"x-2y^2+1=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-514f31f6ab2464ac282b761e6fb6dae5_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ympyr\u00e4n ![\"x^2+y^2=2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0203544bc2766253324447667642b25c_l3.png\" "\\"Rendered")
leikkauspisteet saadaan ratkaistua yht\u00e4l\u00f6parista<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases}x-2y^2+1=0\ \ \text{ratkaistaan}\ x=2y^2-1\\x^2+y^2=2\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fca9bf79e757d59af8ed4d2ed5ad92eb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases}x=2y^2-1\\x^2+y^2=2\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4f5e919a6a32f37cb8b63993e55c559_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nSijoitetaan alempaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n :n paikalle ![\"2y^2-1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eb3ce9b6bc20982e61c5512d046f3ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}(2y^2-1)^2+y^2&=2\\(2y)^2-2 \cdot 2y^2 \cdot 1 + 1^2 +y^2&=2\\4y^4-4y^2+1+y^2&-1=0\\4y^4-3y^2-1&=0\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-604b6585ef59ed7f2d9a425a531de2f1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nT\u00e4st\u00e4 voidaan ratkaista , kun sijoitetaan :n tilalle lauseke ![\"t=y^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e06ecef44332b3f4f2619c73ac557b18_l3.png\" "\\"Rendered")
. Yht\u00e4l\u00f6 muuttuu toisen asteen yht\u00e4l\u00f6ksi.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}4t^2-3t-1&=0\\t&=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) }}{2 \cdot 4}\\t&=\frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{8}\\t&=\frac{3 \pm \sqrt{25}}{8}\\t&=\frac{3 \pm 5}{8}\\t&=\frac{3-5}{8}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}\\\text{tai}\\t&=\frac{3+5}{8}=\frac{8}{8}=1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71c66fd0b12ee803f674bfe8ed758d4d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan nyt .<\/p>\n\n\n\n
Kun ![\"t=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24f3a0fd43502138c34d68e3f2834c47_l3.png\" "\\"Rendered")
, saadaan<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}y^2&=1\\y&=1\\\text{tai}\\y&=-1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08ca9eef1a453a8a89ccce35e94db348_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nKun ![\"t=-\frac{1}{4}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffa97067a0502581020369c7a4ed2a7f_l3.png\" "\\"Rendered")
, saadaan<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}y^2&=-\frac{1}{4}\\\text{ei ratkaisua}\\\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67d59ae305fd94c0608a1ff937c0f10b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan sitten :n arvot.<\/p>\n\n\n\n
Kun , ![\"x=2y^2-1=2 \cdot 1^2 -1=2-1=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88e47c74ac6dfd925e6b8f8a32c832c7_l3.png\" "\\"Rendered")
.
Kun ![\"y=-1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-381a025069b50acf90fa0b2a10e11294_l3.png\" "\\"Rendered")
, ![\"x=2y^2-1=2 \cdot (-1)^2-1=2 \cdot 1 -1 = 2-1=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee70da17586fafec530160e5d39ec944_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Leikkauspisteet ovat ja ![\"(1,-1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0cdfb6ec33dc9ff3e395e6db97f97ad_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Tarkistetaan GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/507_2.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n513. a)<\/div>\n\n\n\nYl\u00f6sp\u00e4in avautuvan paraabelin huippu on pisteess\u00e4 ![\"(2,1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9af940f41e1ff39889e7763fd521d9b_l3.png\" "\\"Rendered")
ja se kulkee pisteen ![\"(1,2)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7150e6f30983b92c19b67da8d913f296_l3.png\" "\\"Rendered")
kautta.<\/p>\n\n\n\n
Yl\u00f6sp\u00e4in avautuvan paraabelin yht\u00e4l\u00f6 on muotoa ![\"y-y=a(x-x_0)^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6330ad23e659088ec049d470cd01f530_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\n
Sijoitetaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n huipun ![\"(x,x_0)=(2,1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd9071bacf9d2c401e215b13715522a2_l3.png\" "\\"Rendered")
koordinaatit.<\/p>\n\n\n\n
![\"y-1=a(x-2)^2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89fb8fb63c4ec226568005e4bcc33161_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
Koska paraabeli kulkee pisteen kautta, piste toteuttaa paraabelin yht\u00e4l\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}2-1&=a(1-2)^2\\1&=a \cdot 1^2\\1&=a\\a&=1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d9d4014f4456a686c76d2b8357c8bd0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nParaabelin yht\u00e4l\u00f6 on <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}y-1&=1(x-2)^2\\y-1&=x^2-2 \cdot x \cdot 2 +2^2\\y-1&=x^2-4x+4\\y&=x^2-4x+5\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dddc5e2fdead3e97497fffbe20793c2e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n513. b)<\/div>\n\n\n\nSijoitetaan pisteiden ![\"A\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07b1ce040c95b146f97c947b6776383f_l3.png\" "\\"Rendered")
, ![\"B\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5142ffc089d2df753dd20966a3d4881_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"C\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80fc70eb30b18f9c8307c5d121c42bf5_l3.png\" "\\"Rendered")
koordinaatit paraabelin yht\u00e4l\u00f6\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}A&=(3,3)\\3&=3^2-4 \cdot 3 + 5\\3&=9-12+5\\3&=2\ \text{epätosi}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca636f3c8f4112002942a5f056560ae3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nPiste ![\"(3,3)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e9923cf5dcc263d9ff0539d933a4dcd_l3.png\" "\\"Rendered")
ei ole paraabelilla. <\/p>\n\n\n\n
Kun ja ![\"y=2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-701efe280cdb8ebc9f2d73ddf9b76c07_l3.png\" "\\"Rendered")
, eli paraabelilla on piste ![\"(3,2)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a55e8db90b544f0ab1f20912350b2c29_l3.png\" "\\"Rendered")
. Siten piste ![\"A=(3,3)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c49da50d3d0b410793d675ccd29590c9_l3.png\" "\\"Rendered")
on paraabelin yl\u00e4puolella.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}B&=(0,5)\\5&=0^2-4 \cdot 0 + 5\\5&=0-0+5\\5&=5\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21ac60d9c82051f8a8a2f5afa3966a99_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nPiste ![\"(0,5)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a50d5d27143e720bdbab307df8dec5cb_l3.png\" "\\"Rendered")
on paraabelilla.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}C&=(4,4)\\4&=4^2-4 \cdot 4 + 5\\4&=16-16+5\\4&=5\ \text{epätosi} \end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8c9d32b5fd3e634c152c0798cee9f99_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nKun ![\"x=4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a862e4266156eb21f5c0ef171ce9af1_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"y=5\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b00b7d0e305e5fda9b0338d1ec72d71f_l3.png\" "\\"Rendered")
, eli paraabelilla on piste ![\"(3,5)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-891343ef92f7c832129bc9b0b849132b_l3.png\" "\\"Rendered")
. Siten piste ![\"C=(4,4)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd541bffb142a899cfba78a8624922d_l3.png\" "\\"Rendered")
on paraabelin alapuolella. <\/p>\n\n\n\n
514.<\/div>\n\n\n\nPisteet, jotka ovat et\u00e4isyydell\u00e4 ![\"5\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc8c173d9e46c0d8030697c2a1d610a9_l3.png\" "\\"Rendered")
pisteest\u00e4 ![\"(-2, 0)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b07a0b878b46bea8463674478807d3d_l3.png\" "\\"Rendered")
ovat ympyr\u00e4ll\u00e4 ![\"(x + 2)^2 + y^2 = 25\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e8f58a6deb35449b76d84219f2b3636_l3.png\" "\\"Rendered")
. Selvitet\u00e4\u00e4n paraabelin ![\"x = -y^2 + 3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ded42a5e97bab667d5e1ffed1a1050fc_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ympyr\u00e4n leikkauspisteet. <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases}x=-y^2+3\ \ \text{ratkaistaan}\ y^2=-x+3\\(x+2)^2+y^2=25\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54b902bdc9afc9b0cb414474e24ca374_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases} y^2=-x+3\\(x+2)^2+y^2=25\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7de7fd3eaece59bdadd8d7df411bee28_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}(x+2)^2+ (-x+3) &=25\\x^2+2 \cdot x \cdot 2+2^2 -x+3&=25\\x^2+4x+4-x+3-25&=0\\x^2+3x-18&=0\\x&=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot(-18)}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2}\\x&=\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2}\\x&=\frac{-3 \pm 9}{2}\\x&=\frac{-3-9}{2}=\frac{-12}{2}=-6\\\text{tai}\\x&=\frac{-3+9}{2}=\frac{6}{2}=3\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fff15748f4315bd7f54d0e33dd31b2a2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan -koordinaattien arvot:<\/p>\n\n\n\n
Kun ![\"x=-6\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a71d395349f4c7c79d5221f8d0c86344_l3.png\" "\\"Rendered")
, <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}y^2&=-x+3\\y^2&=-(-6)+3\\y^2&=6+3\\y^2&=9\ \parallel\ \sqrt{\ }\\y&=\pm \sqrt{9}\\y&=\pm 3\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1b9b334faab893ab92041f766b45910_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nKun ,<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}y^2&=-3+3\\y^2&=0\\y&=0\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2cfe048d32c769879d415df5d878a54_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nKysytyt paraabelin pisteet ovat ![\"(-6,3)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6219db35dbfd39cc40dd48f0fb36cf46_l3.png\" "\\"Rendered")
, ja .<\/p>\n\n\n\n
Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/514_2-1024x978.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n515.<\/div>\n\n\n\nOlkoon piste ![\"(x, y)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0de55e01e0b988d83f848382fe801df4_l3.png\" "\\"Rendered")
kysytyll\u00e4 k\u00e4yr\u00e4ll\u00e4. Lasketaan sen et\u00e4isyys pisteest\u00e4 ![\"(0, 2)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24b63533d68cb95ff4e7b9c4023d907e_l3.png\" "\\"Rendered")
sek\u00e4 -akselista, eli suorasta ![\"y = 0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a6479a462bbe2d3d74cb452b7aaa88c_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\n
![\"\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}=\left|y-0\right|=\left|y\right|\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd05334609b22e6823410d613e2f070b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
Koska et\u00e4isyydet ovat ei-negatiivisia, yht\u00e4l\u00f6 voidaan korottaa puolittain toiseen.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*} \left(\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\right)^2&=\left|y\right|^2 \\ (x-0)^2+(y-2)^2&=y^2\\x^2+y^2-2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 &= y^2\\x^2+y^2-4y+4&=y^2\\-4y&=-x^2-4\ \parallel\ :(-4)\\y&=\frac{1}{4}x^2+1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d41323327252b855ee76709e398a955_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n518. a)<\/div>\n\n\n\nSuoran, joka kulkee pisteen ![\"(2, 1)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97b91e0f67b9943376e1302a410cec34_l3.png\" "\\"Rendered")
kautta ja joka ei ole pystysuora, yht\u00e4l\u00f6 on muotoa
![\"y - 1 = k(x - 2)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3dd22961996a93c801bf272078bc3a7d_l3.png\" "\\"Rendered")
eli ![\"y = kx - 2k + 1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ccbbbab01a8f5b589025fc41877081f_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun yht\u00e4l\u00f6parilla<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\[\begin{cases}y=x^2-6x+10\\y=kx-2k+1\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f46c61132f77e0c3d237e8e6c1800cd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>
on yksi ratkaisu. <\/p>\n\n\n\nSaadaan yht\u00e4l\u00f6<\/p>\n\n\n\n
![\"x^2-6x+10=kx-2k+1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce44614683fcd55d6b6fc7e54a87b58a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
Siirret\u00e4\u00e4n kaikki termit vasemmalle puolelle.<\/p>\n\n\n\n
![\"x^2-6x-kx+10+2k-1=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-994138f3c29d4195c098647a9881dffb_l3.png\" "\\"Rendered")
![\"x^2+(-k-6)x+2k+9=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f7a15f43b70ad82387f0a87edc09202_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
Toisen asteen yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 ![\"ax^2+bx+c=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6a57d81806f20c4e3c42a630c8ffbf7_l3.png\" "\\"Rendered")
on yksi ratkaisu, kun diskriminantti ![\"D=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7539b25fc0bd90734fc7ef16d4b6b028_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Lasketaan diskriminantti ![\"D=b^2-4ac\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1be3c749f817b88e3b39ca555c5df850_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\begin{align*}(-k-6)^2-4 \cdot 1 \cdot(2k+9)&=0\\k^2 + 2 \cdot (-k) \cdot (-6) + 6^2 -8k-36&=0\\k^2+12k +36-8k-36&=0\\k^2+4k&=0\\k(k+4)&=0\\k&=0\\\text{tai}\\k+4&=0\\k&=-4\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73a92b36e3e2110e547fd3254bd80092_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nKun suoran kulmakerroin ![\"k = 0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d22b97bf4e8f7318816dc75e61d092a8_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"k = -4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-844996c50dc5673f6d2f9a25e624026d_l3.png\" "\\"Rendered")
, niin suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste.<\/p>\n\n\n\n
Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun suora on -akselin suuntainen, mutta t\u00e4ll\u00f6in suoralla ei ole kulmakerrointa. <\/p>\n\n\n\n
518. b)<\/div>\n\n\n\nVastaavasti kuin ![\"a\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cdaa28f8216c79c2a678c7293795976_l3.png\" "\\"Rendered")
-kohdassa, mutta nyt pit\u00e4\u00e4 olla kaksi ratkaisua, joten diskriminantti ![\"D > 0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00b27a71b8bf0b44109b41a98d953ec0_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/518_2.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Ep\u00e4yht\u00e4l\u00f6n ![\"k^2+4k&>0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c68e7a7306388cfb554856535430f351_l3.png\" "\\"Rendered")
ratkaisu on ![\"k<-4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6ca3913862c23129227af9975ed2a19_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"k>0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1c4ac69b36ad06e6a9746d838fba0af_l3.png\" "\\"Rendered")
.
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Linkki tuntimuistiinpanoihin. Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 501, 502, 503, 504, 511 501. A-IV. Perustelu Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen. Sen kerroin on positiivinen, joten aukeamissuunta on yl\u00f6sp\u00e4in. B-I. Perustelu Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen. Sen kerroin on positiivinen, joten aukeamissuunta on oikealle. C-II. Perustelu … Jatka lukemista 5.1 (to 23.9.)<\/span>
A-IV. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n B-I. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n C-II. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n D-III. Perustelu<\/strong><\/p>\n\n\n\n Paraabelin <\/span> <\/span> Leikkauspisteet ovat Paraabelin huipun Huipun Huippu on pisteess\u00e4 Hahmotellaan paraabeli yll\u00e4 laskettujen pisteiden avulla koordinaatistoon. Paraabeli aukeamissuunta on oikealle, koska toisen asteen termin Paraabelin <\/span> <\/span> Leikkauspisteet ovat Paraabelin huipun Huipun Huippu on pisteess\u00e4 Hahmotellaan paraabeli yll\u00e4 laskettujen pisteiden avulla koordinaatistoon. Paraabeli aukeamissuunta on vasemmalle, koska toisen asteen termin K\u00e4yr\u00e4 Kysess\u00e4 on vasemmalle aukeava paraabeli, jonka leikkauspisteiss\u00e4 Leikkauspiste on K\u00e4yr\u00e4n ja <\/span> <\/span> Kysess\u00e4 on toisen asteen yht\u00e4l\u00f6. Ratkaistaan se, kun<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Leikkauspisteet ovat siten Paraabelin huipun Huipun Huippu on pisteess\u00e4 Hahmotellaan paraabelin kuvaaja yll\u00e4 olevien tietojen perusteella.<\/p>\n\n\n\n Paraabeli aukeaa oikealle, joten paraabelin yht\u00e4l\u00f6 on muotoa<\/p>\n\n\n\n Sijoitetaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n huipun <\/span> <\/span> Paraabeli kulkee origon eli pisteen <\/span> <\/span> SIjoitetaan paraabelin yht\u00e4l\u00f6\u00f6n <\/span> <\/span> Ratkaistaan suoran ja paraabelin leikkauspisteet. Ne saadaan yht\u00e4l\u00f6parista <\/span> <\/span> Ratkaistaan suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> Ratkaistaan Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n Lasketaan paraabelien <\/span> <\/span> Sijoitetaan alempaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n <\/span> <\/span> Lasketaan Leikkauspisteet ovat Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Paraabelin <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> Sijoitetaan alempaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n <\/span> <\/span> T\u00e4st\u00e4 voidaan ratkaista <\/span> <\/span> Ratkaistaan nyt Kun <\/span> <\/span> Kun <\/span> <\/span> Ratkaistaan sitten Kun Leikkauspisteet ovat Tarkistetaan GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n Yl\u00f6sp\u00e4in avautuvan paraabelin huippu on pisteess\u00e4 Yl\u00f6sp\u00e4in avautuvan paraabelin yht\u00e4l\u00f6 on muotoa Sijoitetaan yht\u00e4l\u00f6\u00f6n huipun Koska paraabeli kulkee pisteen <\/span> <\/span> Paraabelin yht\u00e4l\u00f6 on <\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Sijoitetaan pisteiden <\/span> <\/span> Piste Kun <\/span> <\/span> Piste <\/span> <\/span> Kun Pisteet, jotka ovat et\u00e4isyydell\u00e4 <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> Ratkaistaan Kun <\/span> <\/span> Kun <\/span> <\/span> Kysytyt paraabelin pisteet ovat Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n Olkoon piste Koska et\u00e4isyydet ovat ei-negatiivisia, yht\u00e4l\u00f6 voidaan korottaa puolittain toiseen.<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Suoran, joka kulkee pisteen Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun yht\u00e4l\u00f6parilla<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Saadaan yht\u00e4l\u00f6<\/p>\n\n\n\n Siirret\u00e4\u00e4n kaikki termit vasemmalle puolelle.<\/p>\n\n\n\n Toisen asteen yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 Lasketaan diskriminantti <\/span> <\/span> Kun suoran kulmakerroin Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun suora on Vastaavasti kuin Linkki tuntimuistiinpanoihin. Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 501, 502, 503, 504, 511 501. A-IV. Perustelu Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen. Sen kerroin on positiivinen, joten aukeamissuunta on yl\u00f6sp\u00e4in. B-I. Perustelu Toisen asteen termiss\u00e4 on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen. Sen kerroin on positiivinen, joten aukeamissuunta on oikealle. C-II. Perustelu … Jatka lukemista 5.1 (to 23.9.)<\/span> , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on positiivinen, joten aukeamissuunta on yl\u00f6sp\u00e4in.<\/li><\/ul>\n\n\n\n, joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on positiivinen, joten aukeamissuunta on oikealle.<\/li><\/ul>\n\n\n\n, joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on negatiivinen, joten aukamissuunta on vasemmalle.<\/li><\/ul>\n\n\n\n, joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on positiivinen, joten aukeamissuunta on alasp\u00e4in.<\/li><\/ul>\n\n\n\n on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on positiivinen, joten aukamissuunta on yl\u00f6sp\u00e4in.<\/li>, koska paraabeli on yl\u00f6sp\u00e4in aukeava ja huipun -koordinaatti on .<\/li><\/ul>\n\n\n\n on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on positiivinen, joten aukamissuunta on oikealle.<\/li>, koska paraabeli on yl\u00f6sp\u00e4in aukeava ja huipun -koordinaatti on .<\/li><\/ul>\n\n\n\n on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on negatiivinen, joten aukamissuunta on alasp\u00e4in.<\/li>, koska paraabeli on alasp\u00e4in aukeava ja huipun -koordinaatti on .<\/li><\/ul>\n\n\n\n on muuttujana , joten paraabelin akseli on -akselin suuntainen.<\/li> on negatiivinen, joten aukamissuunta on vasemmalle.<\/li>, koska paraabeli on vasemmalle aukeava ja huipun -koordinaatti on .<\/li><\/ul>\n\n\n\n ja -akselin leikkauspisteiss\u00e4 -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n ja .<\/p>\n\n\n\n-koordinaatti on -akselin leikkauskohtien puoliv\u00e4liss\u00e4:<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n-koordinaatti on .<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n kerroin on positiivinen.<\/p>\n\n\n\n ja -akselin leikkauspisteiss\u00e4 -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n ja .<\/p>\n\n\n\n-koordinaatti on -akselin leikkauskohtien puoliv\u00e4liss\u00e4:<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n-koordinaatti on .<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n kerroin on negatiivinen.<\/p>\n\n\n\n voidaan kirjoittaa muodossa .<\/p>\n\n\n\n-akselin kanssa -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n-akselin leikkauspisteiss\u00e4 -koordinaatti on nolla.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n ja .<\/p>\n\n\n\n-koordinaatti on -akselin leikkauskohtien puoliv\u00e4liss\u00e4:<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n-koordinaatti on .<\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n, miss\u00e4 .<\/p>\n\n\n\n koordinaatit.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n kautta, joten piste toteuttaa paraabelin yht\u00e4l\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n ja , jolloin saadaan<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\nKotiteht\u00e4v\u00e4t 505, 506, 507, 513, 514, 515, 518<\/h4>\n\n\n\n
<\/p><\/p>\n\n\n\n ja sijoitetaan se paraabelin yht\u00e4l\u00f6\u00f6n.
<\/p> <\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n:n arvot.
Kun , niin . Leikkauspiste on .
Kun , niin . Leikkauspiste on .<\/p>\n\n\n\n<\/figure><\/div>\n\n\n\n ja leikkauspisteet yh\u00e4l\u00f6parista sijoitusmenetelm\u00e4ll\u00e4.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n:n paikalle . T\u00e4ll\u00f6in<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n:n arvot, kun, niin
ja, niin <\/p>\n\n\n\n ja .<\/p>\n\n\n\n<\/figure><\/div>\n\n\n\n ja ympyr\u00e4n leikkauspisteet saadaan ratkaistua yht\u00e4l\u00f6parista<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/p> <\/p>\n\n\n\n:n paikalle <\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n, kun sijoitetaan :n tilalle lauseke . Yht\u00e4l\u00f6 muuttuu toisen asteen yht\u00e4l\u00f6ksi.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n, saadaan<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n, saadaan<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n:n arvot.<\/p>\n\n\n\n, .
Kun , .<\/p>\n\n\n\n ja .<\/p>\n\n\n\n<\/figure><\/div>\n\n\n\n ja se kulkee pisteen kautta.<\/p>\n\n\n\n. <\/p>\n\n\n\n koordinaatit.<\/p>\n\n\n\n<\/p>\n\n\n\n kautta, piste toteuttaa paraabelin yht\u00e4l\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n, ja koordinaatit paraabelin yht\u00e4l\u00f6\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n ei ole paraabelilla. <\/p>\n\n\n\n ja , eli paraabelilla on piste . Siten piste on paraabelin yl\u00e4puolella.<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n on paraabelilla.<\/p>\n\n\n\n<\/p> <\/p>\n\n\n\n ja , eli paraabelilla on piste . Siten piste on paraabelin alapuolella. <\/p>\n\n\n\n pisteest\u00e4 ovat ympyr\u00e4ll\u00e4 . Selvitet\u00e4\u00e4n paraabelin ja ympyr\u00e4n leikkauspisteet. <\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/p> <\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n-koordinaattien arvot:<\/p>\n\n\n\n, <\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n,<\/p>\n\n\n\n<\/p> <\/p>\n\n\n\n, ja .<\/p>\n\n\n\n<\/figure><\/div>\n\n\n\n kysytyll\u00e4 k\u00e4yr\u00e4ll\u00e4. Lasketaan sen et\u00e4isyys pisteest\u00e4 sek\u00e4 -akselista, eli suorasta . <\/p>\n\n\n\n<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n kautta ja joka ei ole pystysuora, yht\u00e4l\u00f6 on muotoa eli .<\/p>\n\n\n\n<\/p>
on yksi ratkaisu. <\/p>\n\n\n\n<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n on yksi ratkaisu, kun diskriminantti .<\/p>\n\n\n\n<\/p>\n\n\n\n<\/p><\/p>\n\n\n\n tai , niin suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste.<\/p>\n\n\n\n-akselin suuntainen, mutta t\u00e4ll\u00f6in suoralla ei ole kulmakerrointa. <\/p>\n\n\n\n-kohdassa, mutta nyt pit\u00e4\u00e4 olla kaksi ratkaisua, joten diskriminantti . <\/p>\n\n\n\n<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Ep\u00e4yht\u00e4l\u00f6n ratkaisu on tai .
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"