{"id":733,"date":"2021-09-20T10:02:00","date_gmt":"2021-09-20T07:02:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/?page_id=733"},"modified":"2021-09-23T17:58:05","modified_gmt":"2021-09-23T14:58:05","slug":"4-3-osa-2-ti-19-9","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/","title":{"rendered":"4.3 osa 2 (ti 21.9.)"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

Linkki tuntimuistiinpanohin<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 442, 447, 451a, 452, 455a<\/h4>\n\n\n\n
442.<\/div>\n\n\n\n

Lasketaan ympyr\u00e4n \"(x+1)^2+y^2=1\" keskipisteen \"(-1,0)\" et\u00e4isyys suorasta \"5x+12y-2=0\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\frac{\left|5 \cdot (-1) + 12 \cdot 0 -2 \right|}{\sqrt{5^2+12^2}}&=\frac{\left|-5+0-2\right|}{\sqrt{25+144}}\\&=\frac{\left|-7\right|}{\sqrt{169}}\\&=\frac{7}{13}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n s\u00e4de \"r=1\" ja sen keskipisteen et\u00e4isyys suorasta on \"\dfrac{7}{13}<1\", joten suoran et\u00e4isyys ympyr\u00e4st\u00e4 on pienempi kuin s\u00e4de. Suora on ympyr\u00e4n sekantti.<\/p>\n\n\n\n

447. a)<\/div>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n suora \"y=x-2\" ja ympyr\u00e4 \"(x-4)^2+(y-3)^2=5\" GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 447 a.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Kuvan perusteella suora ja ympyr\u00e4 leikkaavat pisteiss\u00e4 \"(3,1)\" ja \"(6,4)\".<\/p>\n\n\n\n

447. b)<\/div>\n\n\n\n

Ratkaistaan suoran ja ympyr\u00e4n leikkauspisteet sijoitusmenetelm\u00e4ll\u00e4. Kirjoitetaan yht\u00e4l\u00f6pari.<\/p>\n\n\n\n

\"\begin{cases}y=x-2\\(x-4)^2+(y-3)^2=5\end{cases}\"<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-4)^2+(x-2-3)^2&=5\\(x-4)^2+(x-5)^2&=5\\x^2 - 8x + 16 + x^2 -10x + 25 &=5\\2x^2 - 18x + 36 &=0\ \parallel :2\\x^2 - 9x + 18 &=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan toisen asteen yht\u00e4l\u00f6, joka on muotoa \"ax^2+bx+c=0\", toisen asteen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisukaavalla:<\/p>\n\n\n\n

\"x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\"<\/p>\n\n\n\n

\"\begin{cases}a=1\\b=-9\\c=18\end{cases}\"<\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan \"a\":n, \"b\":n ja \"c\":n arvot ratkaisukaavaan:<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x &=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}\\x&=\frac{9 \pm \sqrt{9}}{2}\\x&=\frac{9 \pm 3}{2}\\x&=\frac{9-3}{2} & \text{tai}\ x&=\frac{9+3}{2}\\x&=\frac{6}{2} & x&=\frac{12}{2}\\x&=3 & x&=6\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Leikkauspisteiden \"y\"-koordinaatit saadaan sijoittamalla luvut \"x=3\" ja \"x=6\" suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n \"y=x-2\".<\/p>\n\n\n\n

Kun \"x=3\", niin \"y=3-2=1\".
Kun \"x=6\", niin \"y=6-2=4\".<\/p>\n\n\n\n

Suoran ja ympyr\u00e4n leikkauspisteet ovat \"(3,1)\" ja \"(6,4)\".<\/p>\n\n\n\n

451. a)<\/div>\n\n\n\n

Sijoitetaan suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 \"y=5\" ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6\u00f6n \"x^2+y^2+2x-4y-20=0\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x^2 + 5^2 + 2x - 4 \cdot 5 - 20 &=0\\x^2 + 25 + 2x -20 -20 &=0\\x^2 + 2x -15 &=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

\"\begin{cases}a=1\\b=2\\c=-15\end{cases}\"<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x&=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{2}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}\\x&=\frac{-2 \pm 8}{2}\\x&=\frac{-2-8}{2} & \text{tai}\ x&=\frac{-2+8}{2}\\x&=\frac{-10}{2} & x &=\frac{6}{2}\\x&=-5 & x &=3\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Koska suoran kaikille pisteill\u00e4 \"y=5\", leikkaupisteet ovat \"(-5,3)\" ja \"(3,5)\".<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 451 a.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
452.<\/div>\n\n\n\n

Ympyr\u00f6iden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla seuraava yht\u00e4l\u00f6pari:<\/p>\n\n\n\n

\"\begin{cases}x^2+y^2+4x-13=0\\x^2+y^2-2x-6y+5=0\end{cases}\"<\/p>\n\n\n\n

\"\begin{cases}x^2+y^2+4x-13=0\\x^2+y^2-2x-6y+5=0\ \parallel \cdot (-1)\end{cases}\"<\/p>\n\n\n\n

\"+\begin{cases}x^2+y^2+4x&-13=0\\-x^2-y^2+2x+6y&-5=0\\\cline{1-2}\end{cases}\"
\"6x+6y-18&=0\"<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00f6iden leikkauspisteet ovat suoralla \"6x+6y-18=0\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00f6iden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla suoran ja jomman kumman ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6n muodostama yht\u00e4l\u00f6pari.<\/p>\n\n\n\n

\"\begin{cases}6x+6y-18=0\\x^2+y^2+4x-13=0\end{cases}\"<\/p>\n\n\n\n

Kirjoitetaan suoran yht\u00e4l\u00f6 ratkaistuun muotoon eli ratkaistaan siit\u00e4 \"y\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}6x+6y-18&=0\\6y &=-6x+18\ \parallel\:6\\y &= -x + 3\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan saatu \"y\":n lauseke ympyr\u00e4n \"x^2+y^2+4x-13=0\" yht\u00e4l\u00f6\u00f6n ja ratkaistaan \"x\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x^2 + y^2 + 4x - 13 &=0\\x^2 + (-x+3)^2 + 4x - 13 &=0\\x^2 +x^2 -6x + 9 + 4x -13 &=0\\2x^2 -2x -4 &=0\ \parallel\ :2\\x^2-x-2 &=0\\x&=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\&=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2}\\x&=\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\\x&=\frac{1 \pm 3}{2}\\x&=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=1\\\text{tai}\\x&=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\\\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Leikkauspisteiden \"y\"-koordinaatit ratkaistaan yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 \"y=-x+3\".<\/p>\n\n\n\n

Kun \"x=-1\", niin \"y=-(-1)+3=1+3=4\".
Kun \"x=2\", niin \"y=-2+3=-1\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4t leikkaavat pisteiss\u00e4 \"(-1,4)\" ja \"(2,-1)\".<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 452.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
455. a)<\/div>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n \"x^2+y^2-10x-2y+1=0\" keskipistemuoto on \"(x-5)^2+(y-1)^2=25\". <\/p>\n\n\n\n

Varmista, ett\u00e4 osaat sen muodostaa.<\/p>\n\n\n\n

Keskipiste on siis \"(5,1)\". S\u00e4de on \"\sqrt{25}=5\".<\/p>\n\n\n\n

Lasketaan pisteen \"P=(0,6)\" et\u00e4isyys ympyr\u00e4n keskipisteest\u00e4.<\/p>\n\n\n\n

\"\sqrt{(0-5)^2+(6-1)^2}=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\". <\/p>\n\n\n\n

Koska et\u00e4isyys \"\sqrt{50}\" on suurempi kuin ympyr\u00e4n s\u00e4de \"5\", piste \"P\"on ympyr\u00e4n ulkopuolella.<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n kuva GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 455 a.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Ulkopuolisen pisteen kautta voidaan piirt\u00e4\u00e4 kaksi tangenttia ympyr\u00e4lle.<\/p>\n\n\n\n

Olkoon tangentin kulmakerroin \"k\". Tangentti kulkee pisteen \"P=(0,6)\" kautta.<\/p>\n\n\n\n

Muodostetaan tangentin yht\u00e4l\u00f6.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}y-y_0 &=k(x-x_0)\\y-6 &= k(x-0)\\y-6 &= kx\\kx-y+6&=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Tangentin et\u00e4isyys ympyr\u00e4n keskipisteest\u00e4 \"(5,1)\" on ympyr\u00e4n s\u00e4teen suuruinen eli \"5\".<\/p>\n\n\n\n

Muodostetaan tangentin (siis suoran) et\u00e4isyyden lauskeke pisteeest\u00e4.<\/p>\n\n\n\n

Yleisesti<\/strong>: Suoran \"ax + by + c=0\" et\u00e4isyys pisteest\u00e4 \"(x_0,y_0)\" on <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\left|ax_0 + by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Nyt siis piste \"(x_0,y_0)=(5,1)\" ja<\/p>\n\n\n\n

\"\begin{cases}a=k\\b=-1\\c=6\end{cases}\"<\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan et\u00e4isyyden lausekkeeseen ja merkit\u00e4\u00e4n se yht\u00e4suureksi kuin s\u00e4de \"5\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\frac{\left| k \cdot 5 - 1 \cdot 1 + 6\right|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}}&=5\\\frac{\left| 5k+5\right|}{\sqrt{k^2 +1}}&=5\ \parallel\ \cdot \sqrt{k^2+1}\\\left| 5k+5\right|&=5 \sqrt{k^2+1}\ \parallel\ ()^2\ \text{molemmat puolet}\ \ge 0\\(5k + 5)^2&=\left(5\sqrt{k^2+1}\right)^2\\25k^2 + 50k + 25 &=25(k^2+1)\\25k^2 + 50 k + 25 &=25k^2+25\\50k &=0\\k&=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4ll\u00e4 on ei-pystysuora tangentti \"y-6=0 \cdot (x-0)\" eli \"y=6\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4ll\u00e4 voi olla my\u00f6s pystysuora tangentti. Koska tangentti kulkee pisteen \"(0,6)\" kautta, ainoa mahdollinen pystysuora tangentti on suora \"x=0\". T\u00e4m\u00e4n et\u00e4isyys ympyr\u00e4n keskipisteest\u00e4 \"(5,1)\" on \"x\"-koordinaattien et\u00e4isyys \"\left|5-0\right|=5\", joka on yht\u00e4 suuri kuin ympyr\u00e4n s\u00e4de.
Suora \"x=0\" on siis my\u00f6s ympyr\u00e4n tangentti.<\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Pisteen \"(0,6)\" kautta kulkevien ympyr\u00f6iden tangenttien yht\u00e4l\u00f6t ovat \"y=6\" ja \"x=0\".<\/p>\n\n\n\n

Kotiteht\u00e4v\u00e4t 451b, 453, 461. <\/h4>\n\n\n\n
451. b)<\/div>\n\n\n\n

Suoran \"x-2y=0\" ja ympyr\u00e4n \"x^2+y^2+2x-4y-20=0\" leikkauspisteet.<\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 \"x=2y\". Sijoitetaan se ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6ss\u00e4 \"x\":n paikalle ja ratkaistaan \"y\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} x^2+y^2+2x-4y-20&=0 \\(2y)^2+y^2+ 2 \cdot 2y -4y-20&=0\\4y^2+y^2+4y-4y-20&=0\\5y^2-20&=0\\5y^2&=20\ \parallel\ :5\\y^2&=\frac{20}{5}\\y^2&=4\ \parallel\ \sqrt{\ }\\y&=\pm \sqrt{4}\\y&=\pm 2\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan \"x\", kun \"y=-2\" ja \"y=2\". Sijoitetaan \"y\":n arvot suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n

Kun \"y=-2\", \"x=2 \cdot (-2) = -4\". Leikkauspiste on \"(-4,-2)\".
Kun \"y=2\", \"x=2 \cdot 2 = 4\". Leikkauspiste on \"(4,2)\"<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4n GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n
453. a)<\/div>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n keskipiste on \"(3,0)\" ja s\u00e4de \"\sqrt{10}\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n keskipistemuoto on <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-3)^2+(y-0)^2&=\left(\sqrt{10}\right)^2\\(x-3)^2+y^2&=10\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan \"x\" suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 \"x-2y+2=0\", eli \"x=2y-2\". Sijoitetaan t\u00e4m\u00e4 \"x\":n paikalle ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6ss\u00e4 ja ratkaistaan \"y\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-3)^2+y^2&= 10 \\(2y-2-3)^2+y^2&=10\\(2y-5)^2+y^2&=10\\(2y)^2 -2 \cdot 2y \cdot 5 + 5^2+y^2 &=10\\4y^2 +y^2 -20y + 25-10&=0\\5y^2-20y+15&=0\ \parallel\ :5\\y^2-5y+3&=0\\y&=1\ \text{tai}\ y=3\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Ratkaise yll\u00e4 oleva toisen asteen yht\u00e4l\u00f6 vaikkapa GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan\"x\":t arvot sijoittamalla suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n saadut \"y\":n arvot.<\/p>\n\n\n\n

Kun \"y=1\", \"x=2 \cdot 1 -2 =0\".
Kun \"y=3\", \"x=2 \cdot 3 -2 =6 - 2=4\".<\/p>\n\n\n\n

Leikkauspisteet ovat \"(0,1)\" ja \"(4,3)\".<\/p>\n\n\n\n

453. b)<\/div>\n\n\n\n

Kirjoitetaan ympyr\u00e4n keskipistemuoto normaalimuotoon.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} (x-3)^2+y^2&=10 \\x^2- 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 + y^2&=10\\x^2-6x+9+y^2&=10\\x^2 -6x +y^2 + 9 -10&=0\\ x^2 -6x +y^2 -1&=0\\x^2+y^2-6x-1&=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00f6iden leikkauspisteet saadaan alla olevan yht\u00e4l\u00f6parin ratkaisuista.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x^2 +y^2 -6x -1=0 \\x^2+y^2-4x-2y-15=0\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Kerrotaan alempi yht\u00e4l\u00f6 \"-1\":ll\u00e4 lasketaan yht\u00e4l\u00f6t puolittain yhteen. T\u00e4ll\u00f6in saadaan<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x^2 +y^2 -6x -1=0 \\x^2+y^2-4x-2y-15=0\ \parallel\ \cdot (-1)\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[+\begin{cases} &x^2 +y^2 -6x -1=0 \\-&x^2-y^2+4x+2y+15=0\\\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[-2x+2y+14=0\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00f6iden leikkauspisteet ovat suoralla \"-2x + 2y + 14 = 0\".
Ympyr\u00f6iden leikkauspisteet saadaan suoran ja ympyr\u00e4n \"x^2 + y^2 - 6x - 1 = 0\" yht\u00e4l\u00f6iden muodostamasta yht\u00e4l\u00f6parista. <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} -2x + 2y + 14 = 0 \\x^2 +y^2 -6x -1=0 \\\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 \"y\". <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}-2x+2y+14&=0\\2y&=2x-14\ \parallel\ :(-2)\\y&=x-7\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan \"y=x-7\" ympyr\u00e4n \"x^2 +y^2 -6x -1=0\" yht\u00e4l\u00f6\u00f6n ja ratkaistaan \"x\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} x^2 +y^2 -6x -1&=0 \\ x^2 +( x-7)^2 -6x -1&=0 \\x^2+x^2-14x+49-6x-1&=0\\2x^2-20x+48&=0\\x&=4\ \text{tai}\ x=6\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Ratkaise yll\u00e4 oleva toisen asteen yht\u00e4l\u00f6 esimerkiksi GeoGebralla. <\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan leikkauspisteen \"y\"-koordinaatit yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 \"y = x - 7\". <\/p>\n\n\n\n

Kun \"x = 4\", niin \"y = 4 - 7 = -3\".
Kun \"x = 6\", niin \"y = 6 - 7 = -1\".
<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4t leikkaavat pisteiss\u00e4 \"(4, -3)\" ja \"(6, -1)\". <\/p>\n\n\n\n

461.<\/div>\n\n\n\n

Piste \"(2, 3)\" on ympyr\u00e4n ulkopuolella, koska sen et\u00e4isyys keskipisteeseen
\"(0, 2)\" on \"\sqrt{(0-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\" eli suurempi kuin s\u00e4de \"1\".
Ulkopuolisen pisteen kautta voidaan piirt\u00e4\u00e4 kaksi tangenttia ympyr\u00e4lle. <\/p>\n\n\n\n

Pisteen \"(2, 3)\" kautta kulkevan, ei-pystysuoran tangentin yht\u00e4l\u00f6 on muotoa
\"y - 3 = k(x - 2)\" eli \"kx - y - 2k + 3 = 0\". <\/p>\n\n\n\n

Tangentin et\u00e4isyys ympyr\u00e4n keskipisteest\u00e4 (\"0, 2)\" on ympyr\u00e4n s\u00e4de \"1\".
Muodostetaan yht\u00e4l\u00f6, josta ratkaistaan \"k\". <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\frac{\left|k \cdot 0- 1\cdot 2-2k+3\right|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}&=1\\ \frac{\left|-2k+1\right|}{\sqrt{k^2+1^2}}&=1\ \parallel\ \cdot \sqrt{k^2+1^2}\\ \left|-2k+1\right| &= \sqrt{k^2+1^2}\ \parallel\ ()^2\\(1-2k)^2&=k^2+1^2\\1-4k+k^2&=k^2+1^2\\3k^2-4k&=0\\k(3k-4)&=0\\k&=0\\\text{tai}\ 3k-4&=0\\k&=\frac{4}{3}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Tangentit ovat<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}y-3&=\frac{4}{3}(x-2)\\y-3&=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\\y&=\frac{4}{3}x -\frac{8}{3} +^{\text{3)}}3\\y&=\frac{4}{3}x +\frac{1}{3} \end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

ja<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}y-3&=0(x-2)\\y-3&=0\\y&=3\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n


<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Linkki tuntimuistiinpanohin. Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 442, 447, 451a, 452, 455a 442. Lasketaan ympyr\u00e4n keskipisteen et\u00e4isyys suorasta .     Ympyr\u00e4n s\u00e4de ja sen keskipisteen et\u00e4isyys suorasta on , joten suoran et\u00e4isyys ympyr\u00e4st\u00e4 on pienempi kuin s\u00e4de. Suora on ympyr\u00e4n sekantti. 447. a) Piirret\u00e4\u00e4n suora ja ympyr\u00e4 GeoGebralla. Kuvan perusteella suora ja ympyr\u00e4 leikkaavat pisteiss\u00e4 ja . 447. … Jatka lukemista 4.3 osa 2 (ti 21.9.)<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":111,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"class_list":["post-733","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"\n4.3 osa 2 (ti 21.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"4.3 osa 2 (ti 21.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Linkki tuntimuistiinpanohin. Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 442, 447, 451a, 452, 455a 442. Lasketaan ympyr\u00e4n keskipisteen et\u00e4isyys suorasta .     Ympyr\u00e4n s\u00e4de ja sen keskipisteen et\u00e4isyys suorasta on , joten suoran et\u00e4isyys ympyr\u00e4st\u00e4 on pienempi kuin s\u00e4de. Suora on ympyr\u00e4n sekantti. 447. a) Piirret\u00e4\u00e4n suora ja ympyr\u00e4 GeoGebralla. Kuvan perusteella suora ja ympyr\u00e4 leikkaavat pisteiss\u00e4 ja . 447. … Jatka lukemista 4.3 osa 2 (ti 21.9.) →\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Analyyttinen geometria (MAA05)\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-09-23T14:58:05+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/447a_2-1024x880.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"6 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/\",\"name\":\"4.3 osa 2 (ti 21.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/136\\\/2020\\\/09\\\/447a_2-1024x880.png\",\"datePublished\":\"2021-09-20T07:02:00+00:00\",\"dateModified\":\"2021-09-23T14:58:05+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/136\\\/2020\\\/09\\\/447a_2-1024x880.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/136\\\/2020\\\/09\\\/447a_2-1024x880.png\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/4-3-osa-2-ti-19-9\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"4.3 osa 2 (ti 21.9.)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/\",\"name\":\"Analyyttinen geometria (MAA05)\",\"description\":\"MAA05\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"4.3 osa 2 (ti 21.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"4.3 osa 2 (ti 21.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)","og_description":"Linkki tuntimuistiinpanohin. Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 442, 447, 451a, 452, 455a 442. Lasketaan ympyr\u00e4n keskipisteen et\u00e4isyys suorasta .     Ympyr\u00e4n s\u00e4de ja sen keskipisteen et\u00e4isyys suorasta on , joten suoran et\u00e4isyys ympyr\u00e4st\u00e4 on pienempi kuin s\u00e4de. Suora on ympyr\u00e4n sekantti. 447. a) Piirret\u00e4\u00e4n suora ja ympyr\u00e4 GeoGebralla. Kuvan perusteella suora ja ympyr\u00e4 leikkaavat pisteiss\u00e4 ja . 447. … Jatka lukemista 4.3 osa 2 (ti 21.9.) →","og_url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/","og_site_name":"Analyyttinen geometria (MAA05)","article_modified_time":"2021-09-23T14:58:05+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/447a_2-1024x880.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"6 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/","name":"4.3 osa 2 (ti 21.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/447a_2-1024x880.png","datePublished":"2021-09-20T07:02:00+00:00","dateModified":"2021-09-23T14:58:05+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/#primaryimage","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/447a_2-1024x880.png","contentUrl":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2020\/09\/447a_2-1024x880.png"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-3-osa-2-ti-19-9\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"4.3 osa 2 (ti 21.9.)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/#website","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/","name":"Analyyttinen geometria (MAA05)","description":"MAA05","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false},"uagb_author_info":{"display_name":"Hannu Tabell","author_link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/author\/htabell\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Linkki tuntimuistiinpanohin. Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 442, 447, 451a, 452, 455a 442. Lasketaan ympyr\u00e4n keskipisteen et\u00e4isyys suorasta .     Ympyr\u00e4n s\u00e4de ja sen keskipisteen et\u00e4isyys suorasta on , joten suoran et\u00e4isyys ympyr\u00e4st\u00e4 on pienempi kuin s\u00e4de. Suora on ympyr\u00e4n sekantti. 447. a) Piirret\u00e4\u00e4n suora ja ympyr\u00e4 GeoGebralla. Kuvan perusteella suora ja ympyr\u00e4 leikkaavat pisteiss\u00e4 ja . 447.…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/733","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/users\/111"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=733"}],"version-history":[{"count":85,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/733\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1589,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/733\/revisions\/1589"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=733"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}