{"id":571,"date":"2021-09-08T05:48:00","date_gmt":"2021-09-08T02:48:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/?page_id=571"},"modified":"2021-09-23T17:58:54","modified_gmt":"2021-09-23T14:58:54","slug":"4-1-to-6-9","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/4-1-to-6-9\/","title":{"rendered":"4.1 (to 9.9.)"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

Linkki tuntimuistiinpanoihin<\/a><\/p>\n\n\n\n

Tuntiteht\u00e4vien 401, 402, 405, 407 ja 410 ratkaisut<\/h4>\n\n\n\n
401. a)<\/div>\n\n\n\n

Muodostetaan ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6 kaavalla <\/p>\n\n\n\n

\"(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\"<\/p>\n\n\n\n

Kaavassa ympyr\u00e4n keskipiste \"(x_0,y_0)=(-2,5)\" ja s\u00e4de \"r=6\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-(-2))^2+(y-5)^2&=6^2\\(x+2)^2+(y-5)^2&=36\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

401. b)<\/div>\n\n\n\n

Muodostetaan ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6 kaavalla <\/p>\n\n\n\n

\"(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\"<\/p>\n\n\n\n

Kaavassa ympyr\u00e4n keskipiste \"(x_0,y_0)=(0,-4)\" ja s\u00e4de \"r=3\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-0)^2+(y-(-4))^2&=3^2\\x^2+(y+4)^2&=9\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

401. c)<\/div>\n\n\n\n

Muodostetaan ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6 kaavalla <\/p>\n\n\n\n

\"(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\"<\/p>\n\n\n\n

Kaavassa ympyr\u00e4n keskipiste \"(x_0,y_0)=(\dfrac{2}{3},0)\" ja s\u00e4de \"r=\sqrt{7}\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-\frac{2}{3})^2+(y-0)^2&=(\sqrt{7})^2\\(x-\frac{2}{3})^2+y^2&=7\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

402. a)<\/div>\n\n\n\n

Kirjoitetaan yht\u00e4l\u00f6 keskipistemuotoon, josta n\u00e4hd\u00e4\u00e4n keskipiste ja s\u00e4de<\/p>\n\n\n\n

\"(x-7)^2+(y-(-6))^2=3^2\"<\/p>\n\n\n\n

Keskipiste on \"(7,-6)\" ja s\u00e4de 3.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 402 a.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
402. b)<\/div>\n\n\n\n

Kirjoitetaan yht\u00e4l\u00f6 keskipistemuotoon, josta n\u00e4hd\u00e4\u00e4n keskipiste ja s\u00e4de<\/p>\n\n\n\n

\"(x-(-5))^2+(y-2)^2=(\sqrt{11})^2\"<\/p>\n\n\n\n

Keskipiste on \"(-5,2)\" ja s\u00e4de \"\sqrt{11}\".<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 402 b.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
402. c)<\/div>\n\n\n\n

Kirjoitetaan yht\u00e4l\u00f6 keskipistemuotoon, josta n\u00e4hd\u00e4\u00e4n keskipiste ja s\u00e4de<\/p>\n\n\n\n

\"(x-0)^2+(y-(-1))^2=\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\"<\/p>\n\n\n\n

Keskipiste on \"(0,-1)\" ja s\u00e4de \"\dfrac{2}{5}\".<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 402 c.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
405.<\/div>\n\n\n\n

Lasketaan pisteen \"A=(-6,1)\" et\u00e4isyys ympyr\u00e4n keskipisteest\u00e4 \"(-3,4)\".<\/p>\n\n\n\n

\"\sqrt{(-3-(-6))^2+(4-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\".<\/p>\n\n\n\n

Koska pisteen \"A\" et\u00e4isyys keskipisteest\u00e4 on pienempi kuin s\u00e4de \"\sqrt{20}\", piste \"A\" on ympyr\u00e4n sis\u00e4puolella.<\/p>\n\n\n\n

Lasketaan pisteen \"B=(-1,0)\" et\u00e4isyys ympyr\u00e4n keskipisteest\u00e4 \"(-3,4)\".<\/p>\n\n\n\n

\"\sqrt{(-3-(-1))^2+(4-0)^2}=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\".<\/p>\n\n\n\n

Koska pisteen \"B\" et\u00e4isyys keskipisteest\u00e4 on sama kuin s\u00e4de \"\sqrt{20}\", piste \"B\" on ympyr\u00e4ll\u00e4.<\/p>\n\n\n\n

Lasketaan pisteen \"C=(1,7)\" et\u00e4isyys ympyr\u00e4n keskipisteest\u00e4 \"(-3,4)\".<\/p>\n\n\n\n

\"\sqrt{(-3-1)^2+(4-7)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\".<\/p>\n\n\n\n

Koska pisteen \"C\" et\u00e4isyys keskipisteest\u00e4 on suurempi kuin s\u00e4de \"\sqrt{20}\", piste \"C\" on ympyr\u00e4n ulkopuolella.<\/p>\n\n\n\n

407.<\/div>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n keskipiste on halkaisijan keskipiste eli<\/p>\n\n\n\n

\"\left(\frac{-4+2}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2},\frac{4}{2}\right)=(-1,2)\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n s\u00e4de on keskipisteen et\u00e4isyys halkaisijan p\u00e4\u00e4tepisteeseen.
Lasketaan keskipisteen \"(-1,2)\" ja pisteen \"(-4,1)\" et\u00e4isyys.<\/p>\n\n\n\n

\"r=\sqrt{(-1-(-4))^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6 on <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-(-1))^2+(y-2)^2&=(\sqrt{10})^2\\(x+1)^2+(y-2)^2&=10\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

410. a)<\/div>\n\n\n\n

Neli\u00f6n keskipiste on \"(0,0)\" ja yksi k\u00e4rkipiste on \"(2,2)\". Muut k\u00e4rkipisteet ovat \"(-2,2)\", \"(-2,-22)\" ja \"(2,-2)\".<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Teht\u00e4v\u00e4 410.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n keskipiste on sama kuin neli\u00f6n keskipiste eli origo \"(0,0\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n yksi keh\u00e4piste on neli\u00f6n k\u00e4rki \"(2,2)\". Ympyr\u00e4n s\u00e4de on keh\u00e4pisteen et\u00e4isyys keskipisteest\u00e4.<\/p>\n\n\n\n

\"r=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}\"<\/p>\n\n\n\n

Muodostetaan ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6. Keskipiste on \"(0,0)\" ja s\u00e4de \"\sqrt{8}\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-0)^2+(y-0)^2&=(\sqrt{8})^2$\\x^2+y^2&=8\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

410. b)<\/div>\n\n\n\n

Neli\u00f6n sivun pituus on \"4\", joten sen pinta-ala on \"A_\text{neliö}=4^2=16\". <\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n pinta-ala on \"A_\text{ympyrä}=\pi \cdot (\sqrt{8})^2=\pi \cdot 8 = 8 \pi\".<\/p>\n\n\n\n

Neli\u00f6n ja ympyr\u00e4n pinta-alojen suhde on <\/p>\n\n\n\n

\"\dfrac{A_\text{neliö}}{A_\text{ympyrä}}=\dfrac{16}{8\pi}=\dfrac{2}{\pi}\".<\/p>\n\n\n\n

Kotiteht\u00e4vien 403, 409, 413, 417 ratkaisut.<\/h4>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n keskipiste \"P=(-1,2)\" ja piste, jonka kautta ympyr\u00e4 kulkee on, \"A=(-3,1)\".<\/p>\n\n\n\n

403. b)<\/div>\n\n\n\n

Muodostetaan ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6 kaavalla <\/p>\n\n\n\n

\"(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\"<\/p>\n\n\n\n

Kaavassa ympyr\u00e4n keskipiste \"(x_0,y_0)=(-1,2)\" ja ympyr\u00e4n s\u00e4de \"r\" on a)-kohdassa laskettu \"\sqrt{5}\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-(-1))^2+(y-2)^2&=(\sqrt{5})^2\\(x+1)^2+(y-2)^2&=5\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n s\u00e4de on pisteiden \"P\" ja \"A\" v\u00e4linen et\u00e4isyys \"r\" eli<\/p>\n\n\n\n

\"r=\sqrt{(-1)-(-3))^2+(2-1)^2}=\sqrt{(-1+3)^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\".
<\/p>\n\n\n\n

403. c)<\/div>\n\n\n\n

Osoitetaan v\u00e4ite todeksi sijoittamalla pisteen \"B=(1,3)\" koordinaatit ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6\u00f6n:<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} (x+1)^2+(y-2)^2&= (1+1)^2+(3-2)^2 \\&=2^2+1^2\\&=4+1\\&=5\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Koska ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6 toteutuu, piste \"B\" on ympyr\u00e4ll\u00e4.<\/p>\n\n\n\n

SIjotetaan pisteen \"C=(-3,2)\" koordinaatit ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6\u00f6n ja tutkitaan toteutuuko yht\u00e4l\u00f6.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} (x+1)^2+(y-2)^2&= (-3+1)^2+(2-2)^2 \\&=(-2)^2+0^2\\&=4+0\\&=4\\& \neq 5\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Koske ympyr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6 ei toteudu, piste \"C\" ei ole ympyr\u00e4ll\u00e4.<\/p>\n\n\n\n

409. a)<\/div>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n \"(x+3)^2+(y-5)^2=8\" keskipiste on \"(-3,5)\" ja s\u00e4de \"\sqrt{8}=\sqrt{4\ \cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\".<\/p>\n\n\n\n

Ympyr\u00e4n \"(x-9)^2+y^2=18\" keskipiste on \"(9,0)\" ja s\u00e4de \"\sqrt{18}=\sqrt{9 \cdot 2}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}\".<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n ympyr\u00e4t GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n