{"id":508,"date":"2021-09-07T08:00:00","date_gmt":"2021-09-07T05:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/?page_id=508"},"modified":"2021-09-23T17:59:45","modified_gmt":"2021-09-23T14:59:45","slug":"3-4-ti-3-9","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-4-ti-3-9\/","title":{"rendered":"3.4 (ti 7.9.)"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

Linkki tuntimuistiinpanoihin<\/a><\/p>\n\n\n\n

Tuntiteht\u00e4v\u00e4t 370, 371, 372, 373, 374<\/h4>\n\n\n\n
370. a)<\/div>\n\n\n\n

Molempien suorien kulmakerroin on 2, joten suorat ovat yhdensuuntaiset.<\/p>\n\n\n\n

370. b)<\/div>\n\n\n\n

Suorien kulmakertoimien tulo \"k_1 \cdot k_2 = \dfrac{1}{3} \cdot (-3)=-1\", joten suorat ovat kohdisuorassa.<\/p>\n\n\n\n

370. c)<\/div>\n\n\n\n

Suora \"y-4=0\" on \"x\"-akselin suuntainen suora ja suora \"x-5\" on \"y\"-akselin suuntainen, joten ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.<\/p>\n\n\n\n

371. a)<\/div>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Merkit\u00e4\u00e4n suoran \"a\" ja sen normaalin \"n\" kulmakeroiminen tulo yht\u00e4suureksi kuin -1:<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}4 \cdot k_n &=-1\ \parallel:4\\k_n &=-\frac{1}{4}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

371. b)<\/div>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}-\dfrac{2}{3} \cdot k_n &=-1\ \parallel:\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\k_n &=-1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\\k_n&=\frac{3}{2}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

371. c)<\/div>\n\n\n\n

Suoran \"a\" suuntakulma on \"90^{\circ}\", joten se on \"y\"-akselin suuntainen. Sen normaali on \"x\"-akselin suuntainen, joten suoran \"a\" normaalin kulmakerroin on nolla.<\/p>\n\n\n\n

371. d)<\/div>\n\n\n\n

Kulmakerroin \"k_n=1\dfrac{4}{5}=\dfrac{9}{5}\".<\/p>\n\n\n\n

Kulmakertoimien tulon tulee olla \"-1\", joten<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\dfrac{9}{5} \cdot k_n &=-1\ \parallel:\left(\dfrac{9}{5}\right)\\k_n &=-1 \cdot \left(\frac{5}{9}\right)\\k_n&=-\frac{5}{9}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

372. a)<\/div>\n\n\n\n

Suoran \"y=3x+1\" kulmakerroin on \"3\". Ratkaistaan kulmakerroin, kun suoran ja normaalinen kulmakertoimien tulo on \"-1\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}3 \cdot k_n &=-1\ \parallel:3 \\k_n&=-\frac{1}{3}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Normaalin kulmakerroin \"k=-\dfrac{1}{3}\" ja se kulkee pisteen \"(3,4)\" kautta.<\/p>\n\n\n\n

Normaalin yht\u00e4l\u00f6 on:<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}y-4&=-\frac{1}{3}(x-3)\\y-4&=-\frac{1}{x}x-\frac{1}{3} \cdot (-3)\\y-4 &=-\frac{1}{3}x+1\\y&=-\frac{1}{3}x+5\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

372. b)<\/div>\n\n\n\n

Suora \"x=2\" on \"y\"-akselin suuntainen suora, joten sen normaali on \"x\"-akselin suuntainen. Normaali kulkee pisteen \"(3,4)\" kautta, joten normaalin yht\u00e4l\u00f6 on \"y=4\".<\/p>\n\n\n\n

372. c)<\/div>\n\n\n\n

Suora \"y-1=0\" on \"x\"-akselin suuntainen suora, joten sen normaali on \"y\"-akselin suuntainen, jolla ei siksi ole kulmakerrointa. Suora kulkee pisteen \"(3,4)\" kautta, joten normaalin yht\u00e4l\u00f6 on \"x=3\".<\/p>\n\n\n\n

373. a)<\/div>\n\n\n\n

Pisteen \"(1,-6)\" et\u00e4isyys suorasta \"3x+4y+6=0\" voidaan laskea kaavalla<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\left| a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 saadaan kertoimet \"a=3\", \"b=4\" ja \"c=6\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\frac{\left| 3 \cdot 1+ 4 \cdot (-6)+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}&= \frac{\left| 3-24+6|}{\sqrt{9+16}}\\&= \frac{\left| -15\right|}{\sqrt{25}} \\&= \frac{15}{5}\\&=3\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

373. b)<\/div>\n\n\n\n

Pisteen \"(-2,5)\" et\u00e4isyys suorasta \"3x+4y+6=0\" voidaan laskea kaavalla<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\left| a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 saadaan kertoimet \"a=3\", \"b=4\" ja \"c=6\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\frac{\left| 3 \cdot (-2)+ 4 \cdot 5+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}&= \frac{\left| -6+20+6|}{\sqrt{9+16}}\\&= \frac{\left| 20\right|}{\sqrt{25}} \\&= \frac{20}{5}\\&=4\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

373. c)<\/div>\n\n\n\n

Pisteen \"(0,0)\" et\u00e4isyys suorasta \"3x+4y+6=0\" voidaan laskea kaavalla<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\left| a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Suoran yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 saadaan kertoimet \"a=3\", \"b=4\" ja \"c=6\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\frac{\left| 3 \cdot 0+ 4 \cdot 0+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}&= \frac{\left| 0+0+6|}{\sqrt{9+16}}\\&= \frac{\left| 6\right|}{\sqrt{25}} \\&= \frac{6}{5}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

374.<\/div>\n\n\n\n

Kirjoitetaan suoran yht\u00e4l\u00f6 normaalimuodossa<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}y&=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\\y&=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\ \parallel \cdot 2\\2y&=-x+7\\x+2y-7&=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Pisteen \"(-3,4)\" et\u00e4isyys suorasta \"x+2y-7=0\" on<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\frac{\left| 1 \cdot (-3)+ 2 \cdot 4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}&= \frac{\left|-3+8-7|}{\sqrt{5}}\\&= \frac{\left| -2\right|}{\sqrt{5}} \\&= ^{\sqrt{5}\text{)}}\frac{2}{\sqrt{5}}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Kotiteht\u00e4v\u00e4t 375, 377, 378, 385, 387<\/h4>\n\n\n\n
375. a)<\/div>\n\n\n\n

Suora kulkee pisteen \"(3, 1)\" kautta ja se on \"x\"-akselin suuntainen, joten \"y\"-koordinaatti on aina \"1\". Suoran yht\u00e4l\u00f6 on \"y = 1\". <\/p>\n\n\n\n

375. b)<\/div>\n\n\n\n

Suora kulkee pisteen \"(3, 1)\" kautta ja se on \"y\"-akselin suuntainen, joten \"x\"-koordinaatti on aina \"3\". Suoran yht\u00e4l\u00f6 on \"x = 3\". <\/p>\n\n\n\n

375. c)<\/div>\n\n\n\n

Koska suoran suuntakulma \"\alpha = -45^{\circ }\", on suoran kulmakerroin <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}k&= \tan \alpha\\k &= \tan(-45^{\circ})\\ k&= -1\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

M\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n suoran yht\u00e4l\u00f6, kun \"(x_0,y_0)=(3,1)\" ja kulmakerroin \"k=-1\". Suoran yht\u00e4l\u00f6 saadaan lausekkeesta:<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}y-y_0&=k(x-x_0)\\y-1&=-1(x-3)\\y-1&=-x+3\\y&=-x+3+1\\y&=-x+4\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

375. d)<\/div>\n\n\n\n

M\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n ensin suoran \"2x+y=0\" kulmakerroin ratkaisemalla siit\u00e4 \"y\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2x+y&=0\\y&=-2x\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Kulmakerroin on siis \"-2\". Suoran, joka on sit\u00e4 vastaan kohtisuorassa, kulmakerroin on \"-2\":n k\u00e4\u00e4nteisluvun vastaluku<\/strong> eli \"k=\frac{1}{2}\". T\u00e4ll\u00f6in kulmakertoimien tulo on \"-2 \cdot \frac{1}{2}=-1\".<\/p>\n\n\n\n

Huom<\/strong>! Jos \"k_1=-2\", kohtisuorassa olevan suoran kulmakertoimen \"k_2\" voi toki ratkaista yht\u00e4l\u00f6st\u00e4<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}k_1k_2&=-1\ \parallel\ :k_1\\k_2&=-\frac{1}{k_1}\\k_2&=-\frac{1}{-2}\\k_2&=\frac{1}{2}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Suoran yht\u00e4l\u00f6 saadaan lausekkeesta:<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}y-y_0&=k(x-x_0)\\y-1&=\frac{1}{2}(x-3)\\y-1&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \cdot (-3)\\y-1&= \frac{1}{2} x- \frac{3}{2} \\y&= \frac{1}{2} x- \frac{3}{2}+1^{\text{(2}} \\ y&= \frac{1}{2} x- \frac{3}{2}+\frac{2}{2} \\ y&= \frac{1}{2} x- \frac{1}{2}\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

377. a)<\/div>\n\n\n\n

GeoGebralla on piirretty piste \"(7,-1)\", suora \"x=2\" ja suora \"y+4=0\" eli ratkaistussa muodossa \"4y=-4\".<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Kuvasta mittaamalla pisteen \"(7,-1)\" et\u00e4isyydeksi <\/p>\n\n\n\n