{"id":400,"date":"2021-09-02T09:09:00","date_gmt":"2021-09-02T06:09:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/?page_id=400"},"modified":"2021-09-03T20:55:00","modified_gmt":"2021-09-03T17:55:00","slug":"3-3-to-29-8","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/","title":{"rendered":"3.3 (to 2.9.)"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

Tuntimuistiinpanojen ratkaisut<\/a><\/p>\n\n\n\n

Tuntiteht\u00e4vien 350, 353, 354, 358 ratkaisut<\/h3>\n\n\n\n
350.<\/div>\n\n\n\n

M\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n suorien leikkauspiste ratkaisemalla suorista muodostettava yht\u00e4l\u00f6pari yhteenlaskumenetelm\u00e4ll\u00e4:<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}2x+3y&=7\\3x-2y&=4\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}2x+3y&=7\ \parallel\ \cdot 2\\3x-2y&=4\ \parallel\ \cdot 3\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[+\begin{cases}4x+6y&=14\\9x-6y&=12\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}4x+9x&=14+12\\13x&=26\ \parallel :13\\x&=\frac{26}{13}\\x&=2\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan jompaan kumpaan suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n saatu \"x=2\". K\u00e4ytet\u00e4\u00e4n suoran yht\u00e4l\u00f6\u00e4 \"2x+3y=7\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2 \cdot 2 + 3y&=7\\4+3y&=7\\3y&=7-4\\3y&=3\ \parallel\ :3\\y&=\frac{3}{3}\\y&=1\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Suorien leikkauspiste on \"(2,1)\".<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n
353.<\/div>\n\n\n\n

Suorat ovat \"x-y-1=0\" ja \"2x+3y-12=0\".<\/p>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

T\u00e4llaisessa teht\u00e4v\u00e4ss\u00e4 ei voi katsoa kolmion k\u00e4rkipisteit\u00e4 eli suorien leikkauspistett\u00e4 ja suorien sek\u00e4 koordinaattiakseleiden leikkauspisteit\u00e4 kuvasta, vaan ne pit\u00e4\u00e4 laskea.<\/p>\n\n\n\n

Suorien leikkauspiste<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan leikkauspiste yht\u00e4l\u00f6parista<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}x-y-1=0\ \parallel\ \cdot 3\\2x+3y-12=0\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}3x-3y-3=0\\2x+3y-12=0\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[+\begin{cases}3x-3y=3\\2x+3y=12\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}3x+2x&=3+12\\5x&=15\ \parallel\ :5\\x&=\frac{15}{3}\\x&=3\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan \"x=3\" yht\u00e4l\u00f6\u00f6n \"x-y-1=0\" ja ratkaistaan \"y\":<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x-y-1&=0\\3-y-1&=0\\-y&=-2\ \parallel\ :(-1)\\y&=2\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Suorien leikkauspiste on siis \"(3,2)\".<\/p>\n\n\n\n

Suorien ja \"x\"-akselin leikkauspisteet<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Kolmion kaksi muuta k\u00e4rkipistett\u00e4 ovat \"x\"-akselilla. <\/p>\n\n\n\n

Suoran \"x-y-1=0\" ja \"x\"-akselin leikkauspiste saadaan, kun \"y=0\":<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x-y-1&=0\\x-0-1&=0\\x&=1\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Leikkauspiste on \"(1,0)\".<\/p>\n\n\n\n

Suoran \"2x+3y-12=0\" ja \"x\"-akselin leikkauspiste saadaan, kun \"y=0\":<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2x+3y-12&=0\\2x+ 3 \cdot 0-12&=0\\2x&=12\ \parallel\ :12\\x&=\frac{12}{2}\\x&=6\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Leikkauspiste on \"(6,0)\".<\/p>\n\n\n\n

Kolmion kanta on pisteiden \"(1, 0)\" ja \"(6, 0)\" et\u00e4isyys, eli \"\left|6 - 1\right| = 5\".
Kolmion korkeus \"h\" saadaan suorien leikkauspisteen \"y\"-koordinaatista,
joka on \"2\".<\/p>\n\n\n\n

Kolmion pinta-ala on <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Kolmion pinta-ala on \"5\".
<\/p>\n\n\n\n

354. a)<\/div>\n\n\n\n

Piirret\u00e4\u00e4n GeoGebralla suorat \"y=\frac{1}{3}\" ja \"y=3x\".<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Suorien v\u00e4lisen kulman suuruus on \"53{,}1^{\circ}\".<\/p>\n\n\n\n

354. b)<\/div>\n\n\n\n

Suorien v\u00e4lilen kulma voidaan laskea kaavalla

  <\/span>   <\/span>\"\[\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan kaavaan \"k_1=3\" ja \"k_2=\dfrac{1}{3}\"<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\tan \alpha &=\left|\frac{3-\dfrac{1}{3}}{1+3 \cdot \dfrac{1}{3}}\right| \\ \tan \alpha &=\left|\frac{^{\text{3)}} 3-\dfrac{1}{3}}{1+1}\right| \\ \tan \alpha &=\left|\frac{\dfrac{9}{3}-\dfrac{1}{3}}{2}\right| \\\tan \alpha &=\left|\frac{\dfrac{8}{3}}{2}\right|\\\tan \alpha&=\left|\frac{4}{3}\right|\\ \tan \alpha&=\frac{4}{3}\\ \alpha &=53{,}13\ldots^{\circ} \approx 53{,}1^{\circ}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vastaus<\/strong>: Suorien v\u00e4linen kulma on \"53{,}1^{\circ}\".<\/p>\n\n\n\n

358. a)<\/div>\n\n\n\n

Selvitet\u00e4\u00e4n ensin suorien \"2x+3y-1=0\" ja \"7x+2y-8=0\" kulmakertoimet suorien yht\u00e4l\u00f6iden ratkaistuista<\/strong> muodoista.
<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} 2x+3y-1&=0 \\3y&=-2x+1\ \parallel\ :3\\y&=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} 7x+2y-8&=0 \\2y&=-7x+8\ \parallel\ :2\\y&=-\frac{7}{2}x+\frac{8}{2}\\y&= -\frac{7}{2}x +4\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan suorien kulmakertoimet \"k_1= -\dfrac{2}{3}\" ja \"k_2=-\dfrac{7}{2}\" lausekkeeseen<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\tan \alpha&=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1 k_2}\right|\\\tan \alpha &=\left| \frac{ -\dfrac{2}{3} -\left( -\dfrac{7}{2}\right) }{1+ \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left( -\dfrac{7}{2} \right)}\right|\\ \tan \alpha &=\left| \frac{^{\text{2)}} -\dfrac{2}{3} +^{\text{3)}}\dfrac{7}{2}}{1+ \dfrac{7}{3}}\right|\\\tan \alpha&=\frac{17}{20}\\\alpha&=40{,}36 \ldots^{\circ}\\\alpha &\approx 40{,}4^{\circ}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

358. b)<\/div>\n\n\n\n

Suora \"x = 3\" on pystysuora, joten kysytty kulma saadaan laskettua
suoran kulman ja suoran \"y-2x = 0\" suuntakulman erotuksena.
Suoran \"y-2x = 0\", eli suoran \"y = 2x\" kulmakerroin on \"2\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\tan \alpha &=2\\\alpha &=63{,}43 \ldots^{\circ}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Siten suorien \"x=3\" ja \"y-2x=0\" v\u00e4linen kulma on
\"90^{\circ}- 63{,}43 \ldots^{\circ} =26{,}56 \ldots^{\circ} \approx 26{,}6^{\circ}\" .<\/p>\n\n\n\n

Kotiteht\u00e4vien 351, 355, 361, 367 ratkaisut<\/h3>\n\n\n\n
351.<\/div>\n\n\n\n

A Ratkaistaan yht\u00e4l\u00f6pari sijoitusmenetelm\u00e4ll\u00e4 siten, ett\u00e4 sijoitetaan alemmasta yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 ratkaistu \"y\":n lauseke ylemp\u00e4\u00e4n yht\u00e4l\u00f6\u00f6n \"y\":n paikalle.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}2x-3y=2\\y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\\\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2x-3 \left( \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right) &=2\\2x- 3 \cdot \frac{2}{3}x -3 \cdot \frac{1}{3}&=2\\2x-2x -1&=2\\-1&=2\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Yht\u00e4l\u00f6parilla ei ole ratkaisua, mik\u00e4 tarkoittaa sit\u00e4, ett\u00e4 suorat ovat yhdensuuntaiset.
Kuva III liittyy t\u00e4h\u00e4n.<\/p>\n\n\n\n

B Ratkaistaan yht\u00e4l\u00f6pari sijoitusmenetelm\u00e4ll\u00e4. <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}x+3y=7\\y=x-1\\\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x+3 \left(x-1\right)&=7\\x+3x-3&=7\\4x&=7+3\\4x&=10\ \parallel\ :4\\x&=\frac{10}{4}^{\text{(2}}\\x&=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan saatu \"x\":n arvo yht\u00e4l\u00f6\u00f6n \"y=x-1\", jolloin
\"y= 2\dfrac{1}{2} -1= 1\dfrac{1}{2}\"<\/p>\n\n\n\n

Yht\u00e4l\u00f6parin ratkaisu on \"\left( 2\dfrac{1}{2} , 1\dfrac{1}{2} \right)\" .
Kuva I liittyy t\u00e4h\u00e4n.<\/p>\n\n\n\n

C Ratkaistaan yht\u00e4l\u00f6pari sijoitusmenetelm\u00e4ll\u00e4. <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}y=-2x+5\\2x+y=5\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2x+(-2x+5)&=5\\2x-2x+5&=5\\0&=5-5\\0&=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

T\u00e4m\u00e4 tarkoittaa sit\u00e4, ett\u00e4 yht\u00e4l\u00f6pari toteutuu kaikilla muuttujan \"x\" arvoilla. Siis ratkaisuna ovat kaikki suoran \"y=-2x+5\" pisteet. Yht\u00e4l\u00f6parin suorat ovat siis sama suora.
Kuva II liittyy t\u00e4h\u00e4n.<\/p>\n\n\n\n

Huom! Jos muokataan yht\u00e4l\u00f6parin ylemp\u00e4\u00e4 yht\u00e4l\u00f6\u00e4 muotoo \"2x+y=5\", huomataan, ett\u00e4 kyseess\u00e4 ovat samat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}2x+y=5\\2x+y=5\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

355.<\/div>\n\n\n\n

Ratkaistaan suorien leikkauspisten yht\u00e4l\u00f6parilla.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1\ \parallel\ \cdot 6\\3x-2y+3=0\end{cases}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}6 \cdot \dfrac{x}{3}+6 \cdot \dfrac{y}{2}=6 \cdot 1\\3x-2y=-3\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}2x+3y=6\ \parallel\ \cdot 3\\3x-2y=-3\ \parallel\ \cdot (-2)\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[+\begin{cases}6x+9y=18\ \parallel\\-6x+4y=6\end{cases}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}9y+4y&=18+6\\13y&=24\ \parallel\ :13\\y&=\frac{24}{13}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ratkaistaan \"x\" sijoittamalla \"y&=\dfrac{24}{13}\" yht\u00e4l\u00f6\u00f6n \"3x-2y+3=0\".<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}3x-2 \cdot \frac{24}{13} +3&=0\\3x- \frac{48}{13}&=-3\\3x&= \frac{48}{13} - ^{\text{13)}} 3\\3x&= \frac{48}{13} - \frac{39}{13} \\3x&= \frac{9}{13}\ \parallel\ :3\\x&= \frac{9}{13 \cdot 3} \\x&= \frac{3}{13}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Suorien leikkauspiste on \"\left( \dfrac{3}{13} , \dfrac{24}{13}\right)\".<\/p>\n\n\n\n

361.<\/div>\n\n\n\n

Muodostetaan k\u00e4yr\u00e4n yht\u00e4l\u00f6.

  <\/span>   <\/span>\"\[\left|x-y\right|=2\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Teht\u00e4v\u00e4n idea<\/strong>: On osoitettava, ett\u00e4 k\u00e4yr\u00e4 muodostuu kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta eli suorista, joilla on sama kulmakerroin. <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} x-y&=2\\-y&=-x+2\ \parallel\ \cdot(-1)\\y&=x-2\end{align*}\"<\/p>
tai<\/strong><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} x-y&=-2\\-y&=-x-2\ \parallel\ \cdot(-1)\\y&=x+2\end{align*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Kummankin suoran kulmakerroin on \"1\", joten pistejoukko \"\left|x-y\right|=2\" koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta \"y=x-2\" ja \"y=x+2\".<\/p>\n\n\n\n

367.<\/div>\n\n\n\n

Suorien yht\u00e4l\u00f6t ovat \"ax+2y-1=0\" ja \"x-ay+2=0\". Kummatkin suorat kulkevat pisteen \"(-1,1)\" kautta.<\/p>\n\n\n\n

Sijoitetaan pisteen \"(-1,1)\" koordinaatit suorien yht\u00e4l\u00f6ihin.<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}a \cdot{-1} +2 \cdot 1 -1 &=0\\-a+2-1&=0\\-a&=-1\ \cdot (-1)\\a&=1\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sek\u00e4<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}-1 - a \cdot 1 +2&=0\\-1-a+2&=0\\-a&=-1\ \cdot (-1)\\a&=1\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Kun \"a=1\", molemmat suorat kulkevat pisteen \"(-1,1)\" kautta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tuntimuistiinpanojen ratkaisut Tuntiteht\u00e4vien 350, 353, 354, 358 ratkaisut 350. M\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n suorien leikkauspiste ratkaisemalla suorista muodostettava yht\u00e4l\u00f6pari yhteenlaskumenetelm\u00e4ll\u00e4:                 Sijoitetaan jompaan kumpaan suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n saatu . K\u00e4ytet\u00e4\u00e4n suoran yht\u00e4l\u00f6\u00e4 .     Suorien leikkauspiste on . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. 353. Suorat ovat ja . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. T\u00e4llaisessa teht\u00e4v\u00e4ss\u00e4 … Jatka lukemista 3.3 (to 2.9.)<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":111,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"class_list":["post-400","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"\n3.3 (to 2.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"3.3 (to 2.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tuntimuistiinpanojen ratkaisut Tuntiteht\u00e4vien 350, 353, 354, 358 ratkaisut 350. M\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n suorien leikkauspiste ratkaisemalla suorista muodostettava yht\u00e4l\u00f6pari yhteenlaskumenetelm\u00e4ll\u00e4:                 Sijoitetaan jompaan kumpaan suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n saatu . K\u00e4ytet\u00e4\u00e4n suoran yht\u00e4l\u00f6\u00e4 .     Suorien leikkauspiste on . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. 353. Suorat ovat ja . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. T\u00e4llaisessa teht\u00e4v\u00e4ss\u00e4 … Jatka lukemista 3.3 (to 2.9.) →\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Analyyttinen geometria (MAA05)\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-09-03T17:55:00+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/350_2.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"5 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/\",\"name\":\"3.3 (to 2.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/136\\\/2019\\\/09\\\/350_2.png\",\"datePublished\":\"2021-09-02T06:09:00+00:00\",\"dateModified\":\"2021-09-03T17:55:00+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/136\\\/2019\\\/09\\\/350_2.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/136\\\/2019\\\/09\\\/350_2.png\",\"width\":703,\"height\":641},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/3-3-to-29-8\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"3.3 (to 2.9.)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/\",\"name\":\"Analyyttinen geometria (MAA05)\",\"description\":\"MAA05\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/blogit.gradia.fi\\\/ageom\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"3.3 (to 2.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"3.3 (to 2.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)","og_description":"Tuntimuistiinpanojen ratkaisut Tuntiteht\u00e4vien 350, 353, 354, 358 ratkaisut 350. M\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n suorien leikkauspiste ratkaisemalla suorista muodostettava yht\u00e4l\u00f6pari yhteenlaskumenetelm\u00e4ll\u00e4:                 Sijoitetaan jompaan kumpaan suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n saatu . K\u00e4ytet\u00e4\u00e4n suoran yht\u00e4l\u00f6\u00e4 .     Suorien leikkauspiste on . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. 353. Suorat ovat ja . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. T\u00e4llaisessa teht\u00e4v\u00e4ss\u00e4 … Jatka lukemista 3.3 (to 2.9.) →","og_url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/","og_site_name":"Analyyttinen geometria (MAA05)","article_modified_time":"2021-09-03T17:55:00+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/350_2.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"5 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/","name":"3.3 (to 2.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/350_2.png","datePublished":"2021-09-02T06:09:00+00:00","dateModified":"2021-09-03T17:55:00+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/#primaryimage","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/350_2.png","contentUrl":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2019\/09\/350_2.png","width":703,"height":641},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/3-3-to-29-8\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"3.3 (to 2.9.)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/#website","url":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/","name":"Analyyttinen geometria (MAA05)","description":"MAA05","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false},"uagb_author_info":{"display_name":"Hannu Tabell","author_link":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/author\/htabell\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Tuntimuistiinpanojen ratkaisut Tuntiteht\u00e4vien 350, 353, 354, 358 ratkaisut 350. M\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n suorien leikkauspiste ratkaisemalla suorista muodostettava yht\u00e4l\u00f6pari yhteenlaskumenetelm\u00e4ll\u00e4:                 Sijoitetaan jompaan kumpaan suoran yht\u00e4l\u00f6\u00f6n saatu . K\u00e4ytet\u00e4\u00e4n suoran yht\u00e4l\u00f6\u00e4 .     Suorien leikkauspiste on . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. 353. Suorat ovat ja . Piirret\u00e4\u00e4n suorat GeoGebralla. T\u00e4llaisessa teht\u00e4v\u00e4ss\u00e4…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/400","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/users\/111"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=400"}],"version-history":[{"count":64,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/400\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1545,"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/400\/revisions\/1545"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=400"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}