- Tuntimuistiipanot luvusta 1.1. tiistaina 17.8.2021 ja torstaina 19.8.2021<\/a><\/li>
- Luku 1.1<\/strong>: Teht\u00e4v\u00e4t 102 – 110, 112c, 113c, 114a, 114c, 126<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Teht\u00e4v\u00e4 102<\/h3>\n\n\n\n
a)<\/strong>
![\"|-4|=-(-4) = 4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74280a79f315c5c66a66e7581b2794dc_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong> Luvun et\u00e4isyys nollasta lukusuoralla on luvun itseisarvo. Siten
![\"\left| -\dfrac{2}{3} \right|= -\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{2}{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-938c41dd2ee342fc49df3c7ee816e875_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nc)<\/strong> Et\u00e4isyydell\u00e4
![\"\sqrt{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe96e2769def881d42fd760dd13197a4_l3.png\" "\\"Rendered")
nollasta ovat luvut, joiden itseisarvo on . Luvut ovat ![\"-\sqrt{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fab08ea7c5246f94ed55f3c8fb7df27d_l3.png\" "\\"Rendered")
ja .<\/p>\n\n\n\nd)<\/strong> Luvun
![\"-24\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ecc581fa84be071e4a2736c607227c8_l3.png\" "\\"Rendered")
itseisarvo on ![\"|-24|=24\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c88fa042e4c09dbb12fe7b7933c03ff0_l3.png\" "\\"Rendered")
. Luvun ![\"24\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c502611f83772111edb50dd6b6dbc913_l3.png\" "\\"Rendered")
itseisarvo on ![\"|24|=24\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ccfbd4ce9cee879c30a409fba6a1d3a9_l3.png\" "\\"Rendered")
.
Luvut ovat ja .<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 103<\/h3>\n\n\n\n
a)<\/strong> Koska
![\"\sqrt{4}=2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0021dafd6fe50041c5e0638c005222b4_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"\sqrt{4}>\sqrt{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f8693f29c0a1b40d144fc8e3d4a5a37_l3.png\" "\\"Rendered")
, luku ![\"2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00ac69dabbb1414f319584b1b7797538_l3.png\" "\\"Rendered")
on suurempi.<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong> Koska a-kohdassa p\u00e4\u00e4teltiin, ett\u00e4
on pienempi kuin eli ![\"\sqrt{3}<2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-688124288440da8591bb48ee6e7fdcec_l3.png\" "\\"Rendered")
, niin lauseke ![\"\sqrt{3}-2<0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5228a85f4cd25edb54a5965ab1a53a0_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nJos luku on negatiivinen eli pienempi kuin nolla, niin sen itseisarvo on luvun vastaluku.
![\"\left|\sqrt{3}-2 \right|=-\left(\sqrt{3}-2\right)=-\sqrt {3}+2 = 2 -\sqrt{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a57dd317d5223d61c7b57477f4444c5a_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 104<\/h3>\n\n\n\n
Selvitet\u00e4\u00e4n kaikissa kohdissa, onko itseisarvomerkkien sis\u00e4ll\u00e4 oleva luku positiivinen vai negatiivinen.<\/p>\n\n\n\n
a)<\/strong>
![\"\pi \approx 3{,}141 \ldots >3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-023fe4b54d8c9d835278e658d8bd76fc_l3.png\" "\\"Rendered")
. Siten luku ![\"3- \pi\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9269eab1bea28157bfa124ee2517cd5c_l3.png\" "\\"Rendered")
on pienempi kuin nolla eli negatiivinen.<\/p>\n\n\n\nNegatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku.
![\"\left | 3- \pi \right| = -(3- \pi) = -3 + \pi = \pi +3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9d8be57a0f516cf7537e276a4513282_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong> Koska luku
![\"1=\sqrt{1}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf1e8ed375ba4d82a742e227fb680727_l3.png\" "\\"Rendered")
, niin ![\"1<\sqrt{2}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44076b652f20ce4c474bf0fd5873aafa_l3.png\" "\\"Rendered")
. Siten ![\"1-\sqrt{2}<0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1359e027e4271abdf59259db76b29038_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nNegatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku.
![\"\left | 1- \sqrt{2} \right| = -(1- \sqrt{2}) = -1+ \sqrt{2}=\sqrt{2}-1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b3d5e007967cf800e14360beeb7aaea_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nc)<\/strong> Koska luku
![\"4=\sqrt{16}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf87ceec1d4be2c363235cd20f9aec9e_l3.png\" "\\"Rendered")
ja toisaalta ![\"\sqrt{16}>\sqrt{13}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f448154e3a5f07041875348fe7bf981_l3.png\" "\\"Rendered")
, on luku ![\"4-\sqrt{13}>0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab34aa964b7cbc3b57a5c99256f0d62a_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nPositiivisen luvun itseisarvo on luku itse.
![\"\left | 4- \sqrt{13} \right|=4-\sqrt{13}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c299addff457c5d10f2f9a05405d5fab_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 105<\/h3>\n\n\n\n
a)<\/strong> Luvun
![\"x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edf6d5462aa989d30da6f7f7d6e93e0f_l3.png\" "\\"Rendered")
itseisarvo on 1, eli luvun et\u00e4isyys nollasta on 1. Lukujen -1 ja 1 et\u00e4isyys nollasta on 1, koska ![\"\left|-1 \right| = -(-1) = 1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdb77450131a6d62745eab9b734ed69a_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"\left|1 \right|=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c556d942e180c1086175ba7f7c615a3_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nAlla oleva kuva on tehty GeoGebralla.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2021\/08\/105a.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 105a. Lukusuora.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n b)<\/strong> Luvun
itseisarvo on 3, eli luvun et\u00e4isyys nollasta on 3. Lukujen -3 ja 3 et\u00e4isyys nollasta on 3, koska ![\"\left|-3 \right| = -(-3) = 3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95b797dcb08eadba1c1e27656d1869e8_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"\left|3 \right|=3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5102d57c7b97e0861c8189cf718a5da_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2021\/08\/105b.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 105b. Lukusuora. <\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n c)<\/strong> Yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4
![\"\left|x=-1\rigth |\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb74e1147e4bb7e841ff7db2885856fe_l3.png\" "\\"Rendered")
ei ole ratkaisua, koska mink\u00e4\u00e4n luvun itseisarvo ei ole negatiivinen luku.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 106<\/h3>\n\n\n\n
a)<\/strong> Yht\u00e4l\u00f6
![\"\left|x+3 \right|=4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1403dd62238f9949a409dc4aa6a1aa68_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu, kun luvun ![\"x+3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25273484eda613935cab9184873a9cca_l3.png\" "\\"Rendered")
et\u00e4isyys nollasta on 4. Lukujen -4 ja 4 et\u00e4isyys nollasta on 4.<\/p>\n\n\n\nSaadaan yht\u00e4l\u00f6t<\/p>\n\n\n\n
![\"x+3=-4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5c2ad6f56343c7913e20aa0b01ad3b9_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"x+3=4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83ccd179a8d044e33009b448dd5b2770_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan molemmat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}x+3 &=-4\\x &=-4-3\\x &=-7\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1dc4fcbd4da09e7a2d3f83fe190fe11_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}x+3 &=4\\x &=4-3\\x &=1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3efc974574f07799b36bedbcd1e7101_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nTarkistus<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n
Kun
![\"x=-7\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a86e75ed63ddb738a05fa8734f259b0_l3.png\" "\\"Rendered")
: ![\"\left| x + 3 \right | =\left |-7 + 3 \right |= \left|-4\right| = 4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6be8e69f0d537c5addee61e395fcae56_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nKun
![\"x=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa35123a2caca6bc6d9a8e58dc2f8f63_l3.png\" "\\"Rendered")
: ![\"\left| x + 3 \right | =\left |1 + 3 \right |= \left|14\right| = 4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-422517a95092cade4b56e17b44c9cfe3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6t ratkaisut ovat
ja .<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong> Yht\u00e4l\u00f6
![\"\left|2x+1 \right|=7\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa21b70226e17569180bc20b8be50a3b_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu, kun luvun ![\"2x+1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-184bb9c8b9e8caa6e7dcd3f18967dee2_l3.png\" "\\"Rendered")
et\u00e4isyys nollasta on 7. Lukujen -7 ja 7 et\u00e4isyys nollasta on 7. <\/p>\n\n\n\nSaadaan yht\u00e4l\u00f6t<\/p>\n\n\n\n
![\"2x+1=-7\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-120f145e22f6fd1f7703c253921d6fdb_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"2x+1=7\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b941c28613824bbdb74a1c0122991c7_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan molemmat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}2x+1 &=-7\\2x &=-7-1\\2x &=-8\ \parallel\ :2\\x &=\frac{-8}{2}\\x &= -4\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3c3d0b626726f09f027b64cd7d4784d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}2x+1 &=7\\2x &=7-1\\2x &=6\ \parallel\ :2\\2x &= \frac{6}{2}\\x &= 3\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e8c8a377cee770fa4a9452f66793782_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nTarkistus<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n
Kun
![\"x=-4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a455e0c02e4ec569235135e605f7d44e_l3.png\" "\\"Rendered")
: ![\"\left| 2x+ 1 \right | =\left| 2 \cdot(-4) + 1 \right |= \left|-8+1\right|=\left|-7 \right| = 7\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d45357fb895974cd4c77faf9f83a627_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nKun
![\"x=3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cd53b936d250e712d52f088b7a5ccc0_l3.png\" "\\"Rendered")
: ![\"\left| 2x+ 1 \right | = \left| 2 \cdot 3 + 1 \right |= \left|6+1\right|=\left|7 \right| = 7\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3250df4a93d6eeb1eb5906bec47defb0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6t ratkaisut ovat
ja .<\/p>\n\n\n\nc)<\/strong> Luvun
et\u00e4isyys nollasta pit\u00e4\u00e4 olla nolla. Yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 on vain yksi ratkaisu ![\"x=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53716ee519f21325780331072ec0718a_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 107<\/h3>\n\n\n\n
T\u00e4ss\u00e4 teht\u00e4v\u00e4ss\u00e4 k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n kirjan sivulla 13 olevaa lausetta:<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\[\boxed{\left|a\right| = \left|b\right|$ jos ja vain jos $\ a=b$ tai $\ a=-b}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55566498354f9d1c6f992bf5f68590da_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\na)<\/strong> Yht\u00e4l\u00f6
![\"\left|x-2 \right| = \left|5-2x\right|\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7008f9ad3197ecee10699c9f62dbf696_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu t\u00e4sm\u00e4lleen silloin, kun![\"x-2 = 5-2x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8adbb6420dc0f9de76ee61c887fd6ef1_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"x-2 = -(5-2x)\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a84d1f8e0c350c3b402b1ed780aa654_l3.png\" "\\"Rendered")
.
Ratkaistaan molemmat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x-2 &= 5-2x \\x + 2x &= 5+2\\3x &=7\ \parallel\ :3\\x &=\frac{7}{3}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b1d6fa074dcb6904d0a4036ef6b0d51_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x-2 &= -(5-2x) \\x -2 &= -5+2x\\x-2x &=-5+2\\-x &=-3\ \parallel\ :(-1)\\x &=\frac{-3}{-1}\\x &= 3\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2622936cc77efd6125a339deb8a8760e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nTarkistus GeoGebralla. <\/strong><\/p>\n\n\n\n
- Kirjoita GeGebrassa CAS-n\u00e4kym\u00e4ss\u00e4 .<\/li>
- Paina enteri\u00e4.<\/li>
- Klikkaa painetta x =<\/li><\/ul>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2021\/08\/107a.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 107a. GeoGebra ja CAS.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Toinen tapa on kirjoittaa suoraan komento Ratkaise()<\/strong>, jonka sulkeiden sis\u00e4\u00e4n kirjoitetaan ratkaistava yht\u00e4l\u00f6
<\/span> ja pilkun j\u00e4lkeen, mink\u00e4 muuttujan suhteen yht\u00e4l\u00f6 ratkaistaan.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2021\/08\/107a_2.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 107a. Toinen tapa GeoGebra ja CAS -ratkaisussa. <\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Koska ratkaistavssa yht\u00e4l\u00f6ss\u00e4 on muuttujana vain
, my\u00f6s komento
Ratkaise(<\/span> ) toimisi oikein.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/uploads\/sites\/136\/2021\/08\/107a_3.png\")
Teht\u00e4v\u00e4 107a. Kolmas tapa GeoGebra ja CAS -ratkaisussa. <\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Vastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
![\"x =\dfrac{7}{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b8e531280fb4597a7f7023eda651128_l3.png\" "\\"Rendered")
tai .<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong> Yht\u00e4l\u00f6
![\"\left|x-2 \right| = \left|5x\right|\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0a804001bd12d72ef3dfae4c2d20d33_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu t\u00e4sm\u00e4lleen silloin, kun![\"x-2 = 5x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a977573e7a26795fb682dd8b9fa0d0c7_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"-2 = -5x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e866f3644623c82b332c7d35f7bcba23_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nRatkaistaan molemmat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x-2 &= 5x \\x -5x &= 2\\-4x &=2\ \parallel\ :(-4)\\x &=\frac{2}{-4}\\x &=-\frac{1}{2}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1630e1cc378d8f2df6e5b67ef6ed7195_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x-2 &= -5x \\x +5x &= 2\\ 6x &=2\ \parallel\ :6\\x &=\frac{2}{6}\\x &=-\frac{1}{3}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6c286641f39c78a6df093788afd7c26_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
![\"x =-\dfrac{1}{2}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc4974ed428deae5f802c84d90ca4303_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"x=\dfrac{1}{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b39a4ef60906164a45a8dbaed4c9d1b2_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nc)<\/strong> Siirret\u00e4\u00e4n ensin yht\u00e4l\u00f6n
![\"\left|10x+4 \right| - \left|20x\right| = 0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be5e122d04129967dd59fb4fc7594744_l3.png\" "\\"Rendered")
itseisarvolausekkeet eri puolille yht\u00e4suuruusmerkki\u00e4.
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}\left|10x+4 \right| - \left|20x\right| &= 0 \\ \left|10x+4 \right| = \left|20x\right| \end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2471bf3ae39aa67610ffe0f30a19c28_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nYht\u00e4l\u00f6
![\"\left|10x+4 \right| = \left|20x\right|\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97261881760ad7a64f0daadc93129ab2_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu t\u00e4sm\u00e4lleen silloin, kun![\"10x+4 = 20x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f84620701a27030ea71c9c731d2bebc7_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"10x+4 = -20x\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89497678d38b1f1da7c0795031ac39ce_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nRatkaistaan molemmat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}10x + 4 &= 20x\\10x-20x &=-4\\-10x &=-4\ \parallel\ :(-10)\\x &=\frac{-4}{-10}\\x &=\frac{2}{5}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87bee21e35c7bc75d305c1e80a7f4a6d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} 10x + 4 &= -20x\\10x + 20x &=-4\\30x &=-4\ \parallel\ :30\\x &=\frac{-4}{30}\\x &=-\frac{2}{15}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4d0809e409400f3f29fb1adc8572641_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
![\"x =\dfrac{2}{5}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a201bef0f697ff092b6230d7eb8ff417_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"x=-\dfrac{2}{15}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21b8abf61bed3563e08936a807b8803c_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 108<\/h3>\n\n\n\n
a)<\/strong>
![\"-3-\left|-5\right| = -3 - 5 = -8\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7abfd604887f4a01103a233d435d550a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong>
![\"\left|-3-5\right| = \left|-8\right| = 8\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18fb0ee7bde00c970dacac2fb1b50f3e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nc)<\/strong>
![\"\left|3\right| - \left|5\right| = 3-5= -28\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1533d154201a639eb7ad7f04c6ead173_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 109<\/h3>\n\n\n\n
a)<\/strong> Tutkitaan ensin, kumpi luvuista, 3 vai
![\"\sqrt{10}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b06d1170b5e5295a5d8dd2c301c9efac_l3.png\" "\\"Rendered")
on pienempi (tai suurempi).
Koska![\"\sqrt{9} = 3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-658c7565a605912fa710a9587b605e91_l3.png\" "\\"Rendered")
, niin ![\"3<\sqrt{10}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9afa9a21255f1e92e70c9aa1242d833c_l3.png\" "\\"Rendered")
. T\u00e4ll\u00f6in ![\"3-\sqrt{10}<0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ec76f67fab2e9f55a9b22c3a57be958_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nKoska luku
![\"3-\sqrt{10}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cb46da5d2136cef04da963ec490293b_l3.png\" "\\"Rendered")
on pienempi kuin nolla eli se on negatiivinen, niin sen itseisarvo on luvun vastaluku<\/em>.<\/p>\n\n\n\n![\"\left| 3-\sqrt{10} \right| = -( 3-\sqrt{10} ) = - 3 + \sqrt{10} = \sqrt{10} -3\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae0db9f0dbea10f3d4d9264911b61215_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong> Tutkitaan ensin, kumpi luvuista,
![\"\pi = 3{,}14\ldots\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b69c734286a6555c64d73f42c345f071_l3.png\" "\\"Rendered")
vai ![\"3 \dfrac{1}{10}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f61747f411963deaf3bf67c30d4b9f04_l3.png\" "\\"Rendered")
on pienempi (tai suurempi).
Koska ja ![\"3 \dfrac{1}{10} =3{,}1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bac3ec1350fd7894b81ba4a54584689_l3.png\" "\\"Rendered")
,
niin![\"\pi > 3 \dfrac{1}{10}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f89b9cef147c51a0481c1fddce1a966d_l3.png\" "\\"Rendered")
. T\u00e4ll\u00f6in ![\"\pi - 3 \dfrac{1}{10}>0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12d60d1759117c791438ae315ffe4c64_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nKoska luku
![\"\pi - 3 \dfrac{1}{10}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e05baa3119a73e3e3724006a0dcd84c3_l3.png\" "\\"Rendered")
on suurempi kuin nolla eli se on positiivinen, niin sen itseisarvo on luku itse<\/em>.<\/p>\n\n\n\n![\"\left|\pi - 3 \dfrac{1}{10}\right| = \pi - 3 \dfrac{1}{10}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c5c671abd6b1832aa1f335bb8cce38e_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nc)<\/strong> Koska
![\"a\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cdaa28f8216c79c2a678c7293795976_l3.png\" "\\"Rendered")
on negatiivinen luku, sen itseisarvo on luvun vastaluku.<\/p>\n\n\n\n![\"\left| a \right| = -a\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33c2440a5a9867ed1f9935c5fb8362b8_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 110<\/h3>\n\n\n\n
a)<\/strong> Aloitetaan siirt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 termi
![\"-5\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-024cbf761977c2e80b180f28643c418d_l3.png\" "\\"Rendered")
yht\u00e4suuruusmerkin oikealle puolelle.<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}\left| 2x - 1 \right| -5 &= 0\\ \left| 2x - 1 \right| &= -5\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc26407da0a02106301f2e52565761c2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nLuvut, joiden et\u00e4isyys nollasta on 5, ovat -5 ja 5.<\/p>\n\n\n\n
Saadaan kaksi yht\u00e4l\u00f6\u00e4:<\/p>\n\n\n\n
![\"2x-1 =-5\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-363f557f83c6db701fc15f2a918e8667_l3.png\" "\\"Rendered")
ja ![\"2x-1 = 5\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d951fa8f29d9fa5a0e962cded262279_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan molemmat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}2x - 1 &= -5\\2x &= -5 + 1\\2x &=-4\ \parallel\ :2\\x &= \frac{-4}{2}\\x & = -2\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64ac65f8e4f01332666ab16fa0f54631_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}2x - 1 &= 5\\2x &= 5 + 1\\2x &=6\ \parallel\ :2\\x &= \frac{6}{2}\\x & = 3\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2113296a49efc4b849c4bfa714f553b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
![\"x=-2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94146641c88a9dc01b233e5a28206d56_l3.png\" "\\"Rendered")
ja .<\/p>\n\n\n\nb)<\/strong> Vain luvun nolla itseisarvo on nolla.<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}\left|3x+2\right| &= 0\\3x + 2 &= 0\\3x &= -2\ \parallel\ :3\\x &= -\frac{2}{3}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c828bfc1e86f0ad99ab99854435d1d92_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisu on
![\"x = -\dfrac{2}{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26dbad6257f15d0db30aecac22bbe59b_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nc)<\/strong> Yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 ei ole ratkaisua, koska mink\u00e4\u00e4n luvun itseisarvo ei ole negatiivinen.<\/p>\n\n\n\n
Teht\u00e4v\u00e4 112b<\/h3>\n\n\n\n
Yht\u00e4l\u00f6
![\"\left | x^2-x+2 \right| =4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8ffd7a3883183b58555f877290743e4_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu, kun![\"x^2-x+2 =4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09783875a16a58aaeb1c98d120fb8ab5_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"x^2-x+2 =-4\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53fd31162d8f26fe221cb70254d21a4a_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan molemmat yht\u00e4l\u00f6t.<\/p>\n\n\n\n
Ratkaistaan ensin yht\u00e4l\u00f6
<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}x^2-x+2-4&=0\\x^2-x-2&=0\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4f7a8dc1956a6cf93f3e7e1f311890b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
ja .<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan 2. asteen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisukaavalla, jossa <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\[\begin{cases}a&=1\\b&=-1\\c&=-2\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8e46a335a1f0a600205bc71e551a72a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\x&= \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2}\\ x&= \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\\x&= \frac{1 \pm 3}{2}\\x&=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\ \text{tai}\ x=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbc168a2e2d738c742177efe7c1df3c0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan toinen yht\u00e4l\u00f6
<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x^2-x+2+4&=0\\ x^2-x+6&=0\\x&= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}\\x&= \frac{1 \pm \sqrt{1-24}}{2}\\x&= \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{2}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff9412505e3e3079a0078e0f7eddacad_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nEi ratkaisua, koska neli\u00f6juuren sis\u00e4ll\u00e4 oleva luku on negatiivinen.<\/p>\n\n\n\n
Vastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
![\"x=-1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-732cddb432a1a418072487243e47039a_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"x=2\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bdd4da3f2dc9e73b654f1db9e32739c_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 112c <\/h3>\n\n\n\n
Yht\u00e4l\u00f6
![\"\left | x^3+ \dfrac{7}{16}\right|=\dfrac{9}{16}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf7385152c3bfa5785f52f7388165a10_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu, kun <\/p>\n\n\n\n![\"x^3+ \dfrac{7}{16}=\dfrac{9}{16}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a491438265183202899292e17d2ee798_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"x^3+ \dfrac{7}{16}=-\dfrac{9}{16}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2207c2e8c976f42ce45e49e58c8e6b4d_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan ensin yht\u00e4l\u00f6
.<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x^3+ \frac{7}{16}&=\frac{9}{16} \\ x^3&=\frac{9}{16} - \frac{7}{16}\\ x^3&=\frac{9-7}{16} \\ x^3&=\frac{2}{16} \\ x^3&=\frac{1}{8}\ \parallel\ \sqrt[3]{\ }\\ x^3&=\sqrt[3]{\frac{1}{8}} \\ x&=\frac{1}{2}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d9892aa14f4be33e1e8975b7e2f7b79_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan sitten yht\u00e4l\u00f6
. <\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x^3+ \frac{7}{16}&=-\frac{9}{16} \\ x^3&=-\frac{9}{16} - \frac{7}{16}\\ x^3&=\frac{-9-7}{16} \\ x^3&=\frac{-16}{16} \\ x^3&=-\frac{16}{16} \\ x^3&=-1\ \parallel\ \sqrt[3]{\ }\\ x&=-1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe3c82b75bdcd3383fdb29c8f05611bd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
tai ![\"x=\dfrac{1}{2}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f28ce1fc3f2e69f054e9733447247232_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 113c <\/h3>\n\n\n\n
![\"\left | x^2-x \right| = \left | 1 - x^2 \right|\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-400b1aa61e5de85409266593f7c431dd_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nT\u00e4m\u00e4n ratkaisu perustuu seuraavaan itseisarvon ominaisuuteen, joka on lauseen kirjan sivulla 13.<\/p>\n\n\n\n
![\"\left | a \right| = \left | b \right|\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc23ab5178304c636d28a9e62229e9c3_l3.png\" "\\"Rendered")
jos ja vain jos ![\"a=b\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ff207b0cad6c623c6362a1f8a578e48_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"a=-b\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bb817d2ed84900ea3cd925ab745d759_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nKirjoitetaan ensimm\u00e4inen<\/strong> yht\u00e4l\u00f6, jossa<\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}x^2-x &= 1 - x^2\\x^2+x^2-x-1 &=0\\2x^2-x-1&=0\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b763c5afe29e15b093f2e10e685d1a7a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan 2. asteen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisukaavalla, jossa <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\[\begin{cases}a&=2\\b&=-1\\c&=-1\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-630a235f1d21446fdd9a96446d4cc8d7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\\ x&= \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4}\\ x &= \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}\\ x&= \frac{1 \pm 3}{4}\\ \end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e4c343e80ee124fd93b3266b4370395_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nT\u00e4m\u00e4n ratkaisut ovat<\/p>\n\n\n\n
![\"x=\dfrac{1+3}{4}=\dfrac{4}{4}=1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-200156af930bc2736920b1c87790cad4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\ntai<\/p>\n\n\n\n
![\"x=\dfrac{1-3}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c47bf0515ee43fba691e93d2ad38602_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\nKirjoitetaan toinen yht\u00e4l\u00f6, jossa <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}x^2-x &= -(1 - x^2)\\ x^2-x &= -1 + x^2\\ x^2-x^2-x &=-1\\-x&=-1\ \parallel\ :(-1)\\x&=1\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7262332a1c295b656a71eebadfd50108_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nRatkaisuiksi saatiin
![\"x=-\dfrac{1}{2}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-931f87f925de5c9bee24fcc6b506c1c6_l3.png\" "\\"Rendered")
sek\u00e4 kahdesti (joita ei kirjoiteta kahteen kertaan).<\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
ja .<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 114a<\/h3>\n\n\n\n
Yht\u00e4l\u00f6
![\"\left | 3x^2-7x+1 \right| =1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abe3ab4aea3303d919d51582486eb49d_l3.png\" "\\"Rendered")
toteutuu, kun
![\"3x^2-7x+1 =1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08ce54ae663e43723872be2da6175b34_l3.png\" "\\"Rendered")
tai ![\"3x^2-7x+1 =-1\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a44614d59bd9022d108c00e22dcb7546_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan ensin yht\u00e4l\u00f6
.<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} 3x^2-7x+1 &=1 \\ 3x^2-7x+1 -1 &=0\\ 3x^2-7x &=0 \\x(3x-7)&=0 \\ x&=0\\\mathrm{tai}\\3x-7&=0\\3x&=7\ \parallel\ :3\\x&=\frac{7}{3}=2 \frac{1}{3}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c003f314652f5409de85b80cabda424b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nRatkaistaan sitten yht\u00e4l\u00f6
. <\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} 3x^2-7x+1 &=-1 \\ 3x^2-7x+1 +1 &=0\\ 3x^2-7x +2 &=0 \\ \end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5d2fd2c2572dedecae30073f22caa72_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nRatkaistaan 2. asteen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisukaavalla, jossa <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>
![\"\[\begin{cases}a&=3\\b&=-7\\c&=2\end{cases}\]\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65924f3ef5f9c151a9488d717a4895aa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4\cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}\\ x&= \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{6}\\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6}\\ x &= \frac{7 \pm 5}{6} \\x&= \frac{7 -5}{6} =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\\mathrm{tai}\\ x&= \frac{7 +5}{6} = \frac{12}{6} =2 \end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dccd2de61e842090b87beae72c51f93f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nIlmoitetaan ratkaisussa saadut
:n arvot suuruusj\u00e4rjestyksess\u00e4.<\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut ovat
, , tai ![\"x=\dfrac{7}{3}=2\dfrac{1}{3}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3470cb6234362fa473a22ed86e9208b_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 114c<\/h3>\n\n\n\n
Ratkaise yht\u00e4l\u00f6
![\"\left| 5x-10\right| + \left|x^2-4\left|=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66fedb35a8c1a0f5a2c91f925c5772b4_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nKahden itseisarvon summa voi olla nolla vain silloin, kun molemmat itseisarvot ovat nollia. Siten merkit\u00e4\u00e4n<\/p>\n\n\n\n
![\"5x-10=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98fe718e80aa62a6e146f5e8d7b83493_l3.png\" "\\"Rendered")
ja<\/strong> ![\"x^2-4=0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6c643dbe1c4b26b7ec3e4ca9b766722_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\nRatkaistaan ensin yht\u00e4l\u00f6
.<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}5x-10&=0\\5x&=0+10\\5x&=10\ \parallel\ :5\\x&= \frac{10}{5}\\x&=2\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0993ff18f0d082d4e8f219d210b9d047_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nRatkaistaan sitten yht\u00e4l\u00f6
. <\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}x^2-4&=0\\x^2&=0+4\\x^2=4\ \parallel\ \sqrt{\ }\\x&= \pm 2\\x&=2\ \mathrm{tai}\ x=-2\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f391f8ec3efc0c07798f26b97b7ccc7a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\nSaatiin ratkaisuiksi
ja tai . Molemmat yht\u00e4l\u00f6t toteutuvat, kun . <\/p>\n\n\n\nVastus<\/strong>: Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisu on
.<\/p>\n\n\n\nTeht\u00e4v\u00e4 126<\/h3>\n\n\n\n
Koska mink\u00e4\u00e4n luvun itseisarvo ei ole negatiivinen, tutkitaan, milloin itseisarvon m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4n perusteella yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4
![\"\left| 2x+3 \right|=4x-3 \right|\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71da78574b5b5e7db31d9f579fbf265c_l3.png\" "\\"Rendered")
on ratkaisuja.<\/p>\n\n\n\nRatkaisuja on vain, kun
![\"4x - 3 \ge 0\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbfe861afbaba87ce700fc603f5dff51_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n<\/span> <\/span>
![\"\begin{align*}4x-3&\ge 0\\4x &\ge 3\ \parallel\ :4\\x &\ge\frac{3}{4}\end{align*}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a60739253856338264933f2bbbb92fdb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\nVain sellaiset vastaukset kelpaavat, jotka toteuttavat ehdon
![\"x \ge \dfrac{3}{4}\"](\"https:\/\/blogit.gradia.fi\/ageom\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8624e8ee20079bef4ceac6fbcd4e923d_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\nRatkaisu ei ole oikein, jos hyv\u00e4ksyt\u00e4\u00e4n kaikki vastausvaihtoehdot. J\u00e4tet\u00e4\u00e4n vastauksesta pois
.<\/p>\n\n\n\nVastaus<\/strong>:
.<\/p>\n\n\n\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
T\u00e4ll\u00e4 sivulla on Tuntimuistiipanot luvusta 1.1. tiistaina 17.8.2021 ja torstaina 19.8.2021 Luku 1.1: Teht\u00e4v\u00e4t 102 – 110, 112c, 113c, 114a, 114c, 126 Teht\u00e4v\u00e4 102 a) . b) Luvun et\u00e4isyys nollasta lukusuoralla on luvun itseisarvo. Siten. c) Et\u00e4isyydell\u00e4 nollasta ovat luvut, joiden itseisarvo on . Luvut ovat ja . d) Luvun itseisarvo on . Luvun itseisarvo … Jatka lukemista 1.1 (ti 17.8.)<\/span>
- Luku 1.1<\/strong>: Teht\u00e4v\u00e4t 102 – 110, 112c, 113c, 114a, 114c, 126<\/li><\/ul>\n\n\n\n