2.1 (ti 24.8.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tällä sivulla on

Tuntimuistiinpanot luvusta 2.1 tiistaina 24.8.2021
Luku 2.1: Tehtävien 204, 210, 213, 214, 215, 216 ratkaisut.

Mukana on myös tehtävä 210, vaikka teimme sen jo tunneilla.

Tehtävä 204.

A – II, B – III, C – IV ja D – I

Tehtävä 210. a)

Pisteen $B = (1, 2)$ etäisyys pisteestä $A = (2, 1)$ :
$\sqrt{(2-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Pisteen $C = (3, 3)$ etäisyys pisteestä $A = (2, 1)$ :
$\sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

Pisteen $D = (5, 1)$ etäisyys pisteestä $A = (2, 1)$ :
$\sqrt{(2-5)^2+(1-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+0^2}=\sqrt{9+0}=\sqrt{9}=3$

Tehtävä 210. b)

Koska piste $C$ on ympyrällä, sen etäisyys pisteestä $A$ on ympyrän säde.

Vastaus: Ympyrän säde on $\sqrt{5}$ .

Tehtävä 213. a)

$A = (-2, -1)$ , $B = (2, 1)$ ja $C = (-1, 2)$

Kolmio on tasakylkinen, jos siinä kaksi yhtä pitkää sivua. Lasketaan kolmion sivujen pituudet.

Sivun $AC$ pituus on pisteiden $A$ ja $C$ etäisyys:

$\begin{align*}\sqrt{(-1-(-2))^2+(2-(-1))^2}&=\sqrt{(-1+2)^2+(2+1)^2}\\&=\sqrt{(1^2+3^2}\\&=\sqrt{1+9}\\&=\sqrt{10}\end{align*}$

Sivun $BC$ pituus on pisteiden $B$ ja $C$ etäisyys.

$\begin{align*}\sqrt{(-1-2))^2+(2-1)^2}&=\sqrt{(-3)^2+1^2}\\&=\sqrt{(9+1}\\&=\sqrt{10}\end{align*}$

Sivun $AB$ pituus on pisteiden $A$ ja $B$ etäisyys.

$\begin{align*}\sqrt{(2-(-2))^2+(1-(-1))^2}&=\sqrt{(2+2)^2+(1+1)^2}\\&=\sqrt{(4^2+2^2}\\&=\sqrt{16+4}\\&=\sqrt{20}\\&=\sqrt{4 \cdot 5}\\&=2\sqrt{5}\end{align*}$

Oikeastaan sivun $AB$ pituutta ei olisi tarvinnut laskea, koska tasakylkisyyden osoittamiseksi kahden sivun pituuksien tulee olla samat.

Koska sivut $BC$ ja $AC$ ovat yhtä pitkät, kolmio on tasakylkinen.

213. b)

Kannan keskipiste on janan $AB$ keskipiste:

$\left(\frac{-2+2}{2},\frac{-1+1}{2}\right)=(0,0)$

Tehtävä 213. c)

Lasketaan kolmion pinta-ala vähentämällä kuvaan piirretyn suorakulmion pinta-alasta kolmen suorakulmaisen kolmion alat.

Suorakulmion pinta-ala:

Suorakulmion toisen sivun pituus on pisteiden $A$ ja $B$ $x$ -koordinaattien erotuksen itseisarvo

$\left|2 - (-2)\right| = 4$

ja toisen sivun pituus on pisteiden $A$ ja $C$ $y$ -koordinaattien erotuksen itseisarvo

$\left|2 - (-1)\left| = 3$

Suorakulmion pinta-ala on $4 \cdot 3 = 12$ .

Suorakulmaisten kolmioiden kateettien pituudet saadaan vastaavasti koordinaattien avulla.
Suurin kolmio alhaalla:
Toinen kateetti on $4$ ja toinen $\left|1 - (-1)\right| = 2$ .
Pinta-ala on

$\frac{4 \cdot 2}{2}=4$

Ylhäällä vasemmalla oleva kolmio:
Toinen kateetti on $3$ ja toinen $\left|-2 - (-1)\left| = 1$ .
Pinta-ala on

$\frac{3 \cdot1}{2}=\frac{3}{2}$

Ylhäällä oikealla oleva kolmio:
Toinen kateetti on $3$ ja toinen $1$ .
Pinta-ala on

$\frac{3 \cdot 1}{2}=\frac{3}{2}$

Siten kolmion pinta-ala on

$12-\left(4+\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\right)=12-\left(4+\frac{6}{2}\right)=12-(4+3)=12-7=5$

Vastaus: Kolmion pinta-ala on $5$ .

Tehtävä 214. a)

Muodostetaan käyrän yhtälö annettujen ehtojen nojalla:

Pisteen $y$ -koordinaatin ja luvun $2$ erotus on $y - 2$ . Tämän neliö on $(y - 2)^2$ .
$y$ -koordinaatin neliö on $y^2$ . Nämä ovat yhtä suuret, joten käyrän yhtälö on

$(y - 2)^2 = y^2$

Sievennetään käyrän yhtälö:

$\begin{align*}(y - 2)^2 &= y^2\\y^2-2 \cdot y \cdot 2 + (-2)^2&=y^2\\y^2-4y+4&=y^2\\y^2-y^2-4y+4&=0\\-4y&=-4\ \parallel\ :(-4)\\y&=\frac{-4}{-4}\\y&=1\end{align*}$

Käyrä on seuraava

Tehtävä 214. b)

Pistejoukko koostuu pisteistä, joiden $y$ -koordinaatti on $1$ . Olipa $x$ -koordinaatti mikä tahansa, $y$ -koordinaatti on aina $1$ .

Piste $(1,1001)$ ei ole käyrällä, koska $y$ -koordinaatti ei ole $1$ .
Piste $(1001, 1)$ on käyrällä, koska $y$ -koordinaatti on $1$ .

Tehtävä 215. a)

Käyrän yhtälö on $(x-3)(y+2)=0$ . Piiretään käyrä GeoGebralla.

Tehtävä 215. b)

Käyrällä olevat pisteet toteuttavat yhtälön $(x-3)(y+2)=0$ .

Tulon nollasäännön perusteella yhtälö toteutuu, kun jompi kumpi tulon tekijöistä on nolla eli

$\begin{align*}x-3&=0\\x&=3\end{align*}$

tai

$\begin{align*}y+2&=0\\y&=-2\end{align*}$

Siten yhtälö $(x-3)(y+2)=0$ tarkoittaa pistejoukkoa, joka koostuu pisteistä, joiden
$x$ -koodinaatti on 3
ja
$y$ -koordinaatti on -2.

Tehtävä 216. a)

Kuutio tarkoittaa kolmatta potenssia ja neliö tarkoittaa toista potenssia. Siten käyrän yhtälö on muotoa

$y^3=x^2$

Piirretään käyrä GeoGebralla.

Tehtävä 216. b)

Lasketaan $x$ :n arvot, kun $y=2$ .

$\begin{align*}2^3&=x^2\\x^2&=8\ \parallel\ \sqrt{\ }\\x&=\sqrt{8}=\sqrt{4 \cdot 2}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\\\text{tai}\\ x&=-\sqrt{8}=-\sqrt{4 \cdot 2}=-\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}=-2\sqrt{2}\end{align*}$

Tämän voisi kirjoittaa myös lyhyemmin seuraavasti:

$\begin{align*}2^3&=x^2\\x^2&=8\ \parallel\ \sqrt{\ }\\x&=\pm \sqrt{8}=\pm \sqrt{4 \cdot 2}=\pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}=\pm 2\sqrt{2}\\\end{align*}$

Kysytyt pisteet ovat $\left( 2\sqrt{2}, 2\right)$ ja $\left( -2\sqrt{2}, 2\right)$ .

Tehtävä 216. c)

Jos $y < 0$ , niin $y^3 < 0$ . Tällöin olisi löydettävä sellainen $x$ -koordinaatti,
että sen neliö on negatiivinen. Tällaisia ei ole, joten yhtälön $y^3 = x^2$
toteuttavien pisteiden joukossa yhdenkään pisteen $y$ -koordinaatti ei ole
negatiivinen.