5.2 (to 23.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tehtävät 521, 522, 523, 530

521

A-II, B-II ja III, C-I ja II, D-III

522. a)

Pisteen $(3,0)$ etäisyys johtosuorasta $x=2$ on $3-2=1$ .
Pisteen $(3,0)$ etäisyys polttopisteestä $(3,1)$ on $y$ -koordinaattien erotus $1-0=1$ .

523. a)

Toisenkin pisteen $x$ -koordinaatti pitää olla $3$ , jotta etäisyys johtosuorasta pysyy samana. Piste $(3,2)$ sijaitsee symmetrisesti polttopisteen toisella puolella pisteeseen $(3,0)$ nähden.

523. b)

Merkitään paraabelin yleistä pistettä $(x,y)$ . Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä $(0,1)$ sekä johtosuorasta $y=-1$ ja merkitään lasketut etäisyydet yhtäsuuriksi.

$\begin{align*}\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}&=\left|y-(-1) \right|\\\left(\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}\right)^2 &= \left|y+1\right|^2\\(x-0)^2 + (y-1)^2 &=(y+1)^2\\x^2 + y^2 -2y + 1 &= y^2 + 2y + 1\\-2y -2y &=-x^2 +1-1\\-4y &=-x^2\ \parallel\ :(-4)\\y &=\frac{1}{4}x^2\end{align*}$

Vastaus: Paraabelin yhtälö on $y =x^2$ .

Videolla esitetään paraabelin määrittäminen annettujen pisteiden avulla GeoGebran SovitaPolynomi-komennolla.

Video tehtävästä 530.

Kotitehtävät 527, 528 ja 535.

527. a)

Paraabeli aukeaa joko vasemmalle tai oikealle, koska paraabelin johtosuora on $y$ -akselin suuntainen.

Koordinaatistoon piirrettyjen pisteiden perusteella aukeamisuunan voidaan päätellä olevan vasemmalle, koska piste $(1,0)$ on oikean puoleisin ja korkeimmalla.

527. b)

Koska paraabeli on vasemmalle aukeava, sen yhtälä on muotoa $x=ay^2+by+c$ . Sijoitetaan pisteet $(0,1)$ , $(1,0)$ ja $(-3,-2)$ tähän yhtälöön.

$0=a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c$ , mistä saadaan $a+b=0$
$1=a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$ , mistä saadaan $c=1$
$-3=a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c$ , mistä saadaan $4a-2b+c=-3$

Muodosteaan yhtälöryhmä

$\begin{cases}a+b+c=0\\c=1\\4a-2b+c=-3\end{cases}$

$\begin{cases}a+b+1=0\ \parallel \cdot 2\\4a-2b+1=-3\end{cases}$

$\begin{cases}2a+2b=-2\\4a-2b=-4\end{cases}$

$\begin{align*}6a &= 6\ \parallel\ :6\\a &=-1\end{align*}$

Kun $a=-1$ ja $c=1$ , niin $-1+b+1=0$ , josta $b=0$ .

Paraabelin yhtälö on $x=-y^2+1$ .

528. a)

Paraabelin yhtälö on muotoa $y=ax^2+bx+c$ , koska sen johtosuora on $x$ -akselin suuntainen.

Sijoitetaan pisteet $(0,1)$ , $(3,4)$ ja $(8,-1)$ paraabelin yhtälöön.

Piste $(0,1)$
$1=a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
Tästä saadaan $1=c$ eli $c=1$ .

Piste $(3,4)$

$\begin{align*}4&=a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c\\4&=a \cdot 9 +3b+c\\\text{eli}\\9a+3b+c&=4\end{align*}$

Piste $(8,-1)$

$\begin{align*}-1&=a \cdot 8^2+b \cdot 8 + c\\-1&=a \cdot 64 + b \cdot 8 + c\\-1&=64a + 8b+c\\ \text{eli}\\ 64a + 8b+c&=-1 \end{align*}$

Tehdään näistä kolmesta htälöstä yhtälöryhmä.

$\begin{cases}c=1\\9a+3b+c=4\\64a+8b+c=-1\end{cases}$

Ratkaistaan kertoimet $a$ , $b$ ja $c$ GeoGebralla. Ratkaisu on

$\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{7}{4}\\c=1\end{cases}$

Vastaus: Paraabelin yhtälö on $y=-\frac{1}{4}x^2+ \frac{7}{4}x+1$ .

528. b)

Paraabelin yhtälö on muotoa $x=ay^2+by+c$ , koska sen johtosuora on $y$ -akselin suuntainen.

Sijoitetaan pisteet $(0,1)$ , $(3,4)$ ja $(8,-1)$ paraabelin yhtälöön.

Piste $(0,1)$

$\begin{align*}0&=a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\\0&=a \cdot 1 +b+c\\\text{eli}\\a+b+c &=0\end{align*}$

Piste $(3,4)$

$\begin{align*}3&=a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c\\3&=a \cdot 16 +4b+c\\\text{eli}\\16a+4b+c&=3\end{align*}$

Piste $(8,-1)$

$\begin{align*}8&=a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1) + c\\8&=a \cdot 1 - b + c\\8&=a -b+c\ \text{eli}\\ a -b+c&=8 \end{align*}$

Tehdään näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä.

$\begin{cases}a+b+c=0\\16a+4b+c=3\\a-b+c=8\end{cases}$

Ratkaistaan kertoimet $a$ , $b$ ja $c$ GeoGebralla. Ratkaisu on

$\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=3\end{cases}$

Vastaus: Paraabelin yhtälö on $x=y^2-4y+3$ .

535.

Merkitään pistettä $(x, y)$ kysytyllä paraabelilla. Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä $(1, 3)$ ja johtosuorasta $x - y = 0$ . Etäisyydet ovat yhtä suuret, joten saadaan yhtälö

$\begin{align*}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}&=\frac{\left|1 \cdot x -1 \cdot y\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\ \sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}&=\frac{\left| x - y\right|}{\sqrt{1+1}}\\ \sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}&=\frac{\left| x - y\right|}{\sqrt{2}}\ \parallel\ \cdot \sqrt{2}\\\sqrt{2} \cdot \sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}&=\left| x - y\right| \ \parallel\ ()^2\\ (\sqrt{2})^2 \left(\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\right)^2&=(x - y)^2\\2\left((x-1)^2+(y-3)^2\right)&=x^2-2xy+y^2\\2^(x^2-2x+1+y^2-6y+9)&=x^2-2xy+y^2\\2x^2-4x+2+2y^2-12y+18&=x^2-2xy+y^2\\x^2+2xy+y^2-4x-12y+20&=0\end{align*}$

Piirretään kuva GeoGebralla.