5.1 (to 23.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Linkki tuntimuistiinpanoihin.

Tuntitehtävät 501, 502, 503, 504, 511

501.

A-IV. Perustelu

Toisen asteen termissä on muuttujana $x$ , joten paraabelin akseli on $y$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $1$ on positiivinen, joten aukeamissuunta on ylöspäin.

B-I. Perustelu

Toisen asteen termissä on muuttujana $y$ , joten paraabelin akseli on $x$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $1$ on positiivinen, joten aukeamissuunta on oikealle.

C-II. Perustelu

Toisen asteen termissä on muuttujana $y$ , joten paraabelin akseli on $x$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $-2$ on negatiivinen, joten aukamissuunta on vasemmalle.

D-III. Perustelu

Toisen asteen termissä on muuttujana $x$ , joten paraabelin akseli on $y$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $-2$ on positiivinen, joten aukeamissuunta on alaspäin.

502. a)

Toisen asteen termissä $x^2$ on muuttujana $x$ , joten paraabelin akseli on $y$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $1$ on positiivinen, joten aukamissuunta on ylöspäin.
Paraabelin akseli on suora $x=2$ , koska paraabeli on ylöspäin aukeava ja huipun $x$ -koordinaatti on $2$ .

502. b)

Toisen asteen termissä $y^2$ on muuttujana $y$ , joten paraabelin akseli on $x$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $1$ on positiivinen, joten aukamissuunta on oikealle.
Paraabelin akseli on suora $y=-3$ , koska paraabeli on ylöspäin aukeava ja huipun $y$ -koordinaatti on $-3$ .

502. c)

Toisen asteen termissä $-\dfrac{1}{3}x^2$ on muuttujana $x$ , joten paraabelin akseli on $y$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $-\dfrac{1}{3}$ on negatiivinen, joten aukamissuunta on alaspäin.
Paraabelin akseli on suora $x=3$ , koska paraabeli on alaspäin aukeava ja huipun $x$ -koordinaatti on $3$ .

502. d)

Toisen asteen termissä $-2y^2$ on muuttujana $y$ , joten paraabelin akseli on $x$ -akselin suuntainen.
Sen kerroin $-2$ on negatiivinen, joten aukamissuunta on vasemmalle.
Paraabelin akseli on suora $y=1$ , koska paraabeli on vasemmalle aukeava ja huipun $y$ -koordinaatti on $1$ .

503. a)

Paraabelin $x=y^2-4$ ja $y$ -akselin leikkauspisteissä $x$ -koordinaatti on nolla.

$\begin{align*}y^2-4&=0\\y^2 &= 4\ \parallel\ \sqrt{\ }\\y &= \pm 2\end{align*}$

Leikkauspisteet ovat $(0,-2)$ ja $(0,2)$ .

Paraabelin huipun $y$ -koordinaatti on $y$ -akselin leikkauskohtien puolivälissä:

$y=\dfrac{-2+2}{2}=\dfrac{0}{2}=0$ .

Huipun $x$ -koordinaatti on $x=0^2-4=-4$ .

Huippu on pisteessä $(-4,0)$ .

Hahmotellaan paraabeli yllä laskettujen pisteiden avulla koordinaatistoon. Paraabeli aukeamissuunta on oikealle, koska toisen asteen termin $y^2$ kerroin $1$ on positiivinen.

503. b.

Paraabelin $x=-y^2+6y$ ja $y$ -akselin leikkauspisteissä $x$ -koordinaatti on nolla.

$\begin{align*}-y^2+6y&=0\\y(-y+6) &=0\\y &=0\ \text{tai}\ &-y+6&=0\\y &=0\ \text{tai}\ &y&=6&\end{align*}$

Leikkauspisteet ovat $(0,0)$ ja $(0,6)$ .

Paraabelin huipun $y$ -koordinaatti on $y$ -akselin leikkauskohtien puolivälissä:

$y=\dfrac{0+6}{2}=\dfrac{6}{2}=3$ .

Huipun $x$ -koordinaatti on $x=-3^2+6 \codt 3=-9+18=9$ .

Huippu on pisteessä $(-9,3)$ .

Hahmotellaan paraabeli yllä laskettujen pisteiden avulla koordinaatistoon. Paraabeli aukeamissuunta on vasemmalle, koska toisen asteen termin $y^2$ kerroin $-1$ on negatiivinen.

504.

Käyrä $y^2 + x -2y -3 =0$ voidaan kirjoittaa muodossa $x=-y^2+2y+3$ .

Kysessä on vasemmalle aukeava paraabeli, jonka leikkauspisteissä $x$ -akselin kanssa $y$ -koordinaatti on nolla.

$x=-0^2+2 \cdot 0 + 3 = 3$ .

Leikkauspiste on $(3,0)$ .

Käyrän ja $y$ -akselin leikkauspisteissä $x$ -koordinaatti on nolla.

$\begin{align*}-y^2+2y+3 &=0\ \parallel\ \cdot (-1)\\y^2-2y-3&=0\end{align*}$

Kysessä on toisen asteen yhtälö. Ratkaistaan se, kun

$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-3\end{cases}$

$\begin{align*}y&=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\\y&=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\\y&=\frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}\\y&=\frac{2 \pm 4}{2}\\y&=\frac{2 - 4}{2}=-\frac{-2}{2}=-1\\\text{tai}\\y&=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3\end{align*}$

Leikkauspisteet ovat siten $(0,-1)$ ja $(0,3)$ .

Paraabelin huipun $y$ -koordinaatti on $y$ -akselin leikkauskohtien puolivälissä:

$y=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1$ .

Huipun $x$ -koordinaatti on $x=-1^2+2 \cdot 1 +3 =-1+2+3=4$ .

Huippu on pisteessä $(4,1)$ .

Hahmotellaan paraabelin kuvaaja yllä olevien tietojen perusteella.

511.

Paraabeli aukeaa oikealle, joten paraabelin yhtälö on muotoa

$x-x_0=a(y-y_0)^2$ , missä $a>0$ .

Sijoitetaan yhtälöön huipun $(x_0,y_0)=(-4,2)$ koordinaatit.

$\begin{align*}x-x_0 &= a(y-y_0)^2\\x-(-4) &=a(y-2)^2\end{align*}$

Paraabeli kulkee origon eli pisteen $(0,0)$ kautta, joten piste $(0,0)$ toteuttaa paraabelin yhtälön.

$\begin{align*}0-(-4) &=a(0-2)^2\\0+4 &=a(-2)^2\\4 &= a \cdot 4\\4a &=4\ \parallel : 4\\a&=\frac{4}{4}\\a&=1\end{align*}$

SIjoitetaan paraabelin yhtälöön $(x_0,y_0)=(-4,2)$ ja $a=1$ , jolloin saadaan

$\begin{align*}x-(-4) &= 1 \cdot (y-2)^2\\x+4 &=1 \cdot (y^2-4y + 4)\\x +4&= y^2 -4y +4\\x &=y^2 -4y +4-4\\x &=y^2-4y\end{align*}$

Kotitehtävät 505, 506, 507, 513, 514, 515, 518

505.

Ratkaistaan suoran ja paraabelin leikkauspisteet. Ne saadaan yhtälöparista

$\begin{cases}x+y=2\\y=x^2-4x+2\end{cases}$

Ratkaistaan suoran yhtälöstä $y=2-x$ ja sijoitetaan se paraabelin yhtälöön.

$\begin{cases}y=2-x\\y=x^2-4x+2\end{cases}$

$\begin{align*}2-x&=x^2-4x+2 \\x^2-4x+x+2-2&=0\\x^2-3x&=0\\x(x-3)&=0\\x&=0\\\text{tai}\\x-3&=0\\x&=3\end{align*}$

Ratkaistaan $y$ :n arvot.
Kun $x=0$ , niin $y=2-0=2$ . Leikkauspiste on $(0,2)$ .
Kun $x=3$ , niin $y=2-3=-3$ . Leikkauspiste on $(3,-1)$ .

Piirretään kuva GeoGebralla.

506.

Lasketaan paraabelien $y=x^2$ ja $x=y^2$ leikkauspisteet yhälöparista sijoitusmenetelmällä.

$\begin{cases}y=x^2\\x=y^2\end{cases}$

Sijoitetaan alempaan yhtälöön $y$ :n paikalle $x^2$ . Tällöin

$\begin{align*}x&=(x^2)^2\\x&=x^4\\x^4-x&=0\\x(x^3-1)&=0\\x&=0\\\text{tai}\\x^3-1&=0\\x^3&=1\\x&=1\end{align*}$

Lasketaan $y$ :n arvot, kun
$x=0$ , niin $y=0^2=0$
ja
$x=1$ , niin $y=1^2=1$

Leikkauspisteet ovat $(0,0)$ ja $(1,1)$ .

Piirretään kuva GeoGebralla.

507.

Paraabelin $x-2y^2+1=0$ ja ympyrän $x^2+y^2=2$ leikkauspisteet saadaan ratkaistua yhtälöparista

$\begin{cases}x-2y^2+1=0\ \ \text{ratkaistaan}\ x=2y^2-1\\x^2+y^2=2\end{cases}$

$\begin{cases}x=2y^2-1\\x^2+y^2=2\end{cases}$

Sijoitetaan alempaan yhtälöön $x$ :n paikalle $2y^2-1$

$\begin{align*}(2y^2-1)^2+y^2&=2\\(2y)^2-2 \cdot 2y^2 \cdot 1 + 1^2 +y^2&=2\\4y^4-4y^2+1+y^2&-1=0\\4y^4-3y^2-1&=0\end{align*}$

Tästä voidaan ratkaista $y$ , kun sijoitetaan $y^2$ :n tilalle lauseke $t=y^2$ . Yhtälö muuttuu toisen asteen yhtälöksi.

$\begin{align*}4t^2-3t-1&=0\\t&=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) }}{2 \cdot 4}\\t&=\frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{8}\\t&=\frac{3 \pm \sqrt{25}}{8}\\t&=\frac{3 \pm 5}{8}\\t&=\frac{3-5}{8}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}\\\text{tai}\\t&=\frac{3+5}{8}=\frac{8}{8}=1\end{align*}$

Ratkaistaan nyt $y$ .

Kun $t=1$ , saadaan

$\begin{align*}y^2&=1\\y&=1\\\text{tai}\\y&=-1\end{align*}$

Kun $t=-\frac{1}{4}$ , saadaan

$\begin{align*}y^2&=-\frac{1}{4}\\\text{ei ratkaisua}\\\end{align*}$

Ratkaistaan sitten $x$ :n arvot.

Kun $y=1$ , $x=2y^2-1=2 \cdot 1^2 -1=2-1=1$ .
Kun $y=-1$ , $x=2y^2-1=2 \cdot (-1)^2-1=2 \cdot 1 -1 = 2-1=1$ .

Leikkauspisteet ovat $(1,1)$ ja $(1,-1)$ .

Tarkistetaan GeoGebralla.

513. a)

Ylöspäin avautuvan paraabelin huippu on pisteessä $(2,1)$ ja se kulkee pisteen $(1,2)$ kautta.

Ylöspäin avautuvan paraabelin yhtälö on muotoa $y-y=a(x-x_0)^2$ .

Sijoitetaan yhtälöön huipun $(x,x_0)=(2,1)$ koordinaatit.

$y-1=a(x-2)^2$

Koska paraabeli kulkee pisteen $(1,2)$ kautta, piste toteuttaa paraabelin yhtälön.

$\begin{align*}2-1&=a(1-2)^2\\1&=a \cdot 1^2\\1&=a\\a&=1\end{align*}$

Paraabelin yhtälö on

$\begin{align*}y-1&=1(x-2)^2\\y-1&=x^2-2 \cdot x \cdot 2 +2^2\\y-1&=x^2-4x+4\\y&=x^2-4x+5\end{align*}$

513. b)

Sijoitetaan pisteiden $A$ , $B$ ja $C$ koordinaatit paraabelin yhtälöön.

$\begin{align*}A&=(3,3)\\3&=3^2-4 \cdot 3 + 5\\3&=9-12+5\\3&=2\ \text{epätosi}\end{align*}$

Piste $(3,3)$ ei ole paraabelilla.

Kun $x=3$ ja $y=2$ , eli paraabelilla on piste $(3,2)$ . Siten piste $A=(3,3)$ on paraabelin yläpuolella.

$\begin{align*}B&=(0,5)\\5&=0^2-4 \cdot 0 + 5\\5&=0-0+5\\5&=5\end{align*}$

Piste $(0,5)$ on paraabelilla.

$\begin{align*}C&=(4,4)\\4&=4^2-4 \cdot 4 + 5\\4&=16-16+5\\4&=5\ \text{epätosi} \end{align*}$

Kun $x=4$ ja $y=5$ , eli paraabelilla on piste $(3,5)$ . Siten piste $C=(4,4)$ on paraabelin alapuolella.

514.

Pisteet, jotka ovat etäisyydellä $5$ pisteestä $(-2, 0)$ ovat ympyrällä $(x + 2)^2 + y^2 = 25$ . Selvitetään paraabelin $x = -y^2 + 3$ ja ympyrän leikkauspisteet.

$\begin{cases}x=-y^2+3\ \ \text{ratkaistaan}\ y^2=-x+3\\(x+2)^2+y^2=25\end{cases}$

$\begin{cases} y^2=-x+3\\(x+2)^2+y^2=25\end{cases}$

$\begin{align*}(x+2)^2+ (-x+3) &=25\\x^2+2 \cdot x \cdot 2+2^2 -x+3&=25\\x^2+4x+4-x+3-25&=0\\x^2+3x-18&=0\\x&=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot(-18)}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2}\\x&=\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2}\\x&=\frac{-3 \pm 9}{2}\\x&=\frac{-3-9}{2}=\frac{-12}{2}=-6\\\text{tai}\\x&=\frac{-3+9}{2}=\frac{6}{2}=3\end{align*}$

Ratkaistaan $y$ -koordinaattien arvot:

Kun $x=-6$ ,

$\begin{align*}y^2&=-x+3\\y^2&=-(-6)+3\\y^2&=6+3\\y^2&=9\ \parallel\ \sqrt{\ }\\y&=\pm \sqrt{9}\\y&=\pm 3\end{align*}$

Kun $x=3$ ,

$\begin{align*}y^2&=-3+3\\y^2&=0\\y&=0\end{align*}$

Kysytyt paraabelin pisteet ovat $(-6,3)$ , $(-6,3)$ ja $(3,0)$ .

Piirretään kuva GeoGebralla.

515.

Olkoon piste $(x, y)$ kysytyllä käyrällä. Lasketaan sen etäisyys pisteestä $(0, 2)$ sekä $x$ -akselista, eli suorasta $y = 0$ .

$\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}=\left|y-0\right|=\left|y\right|$

Koska etäisyydet ovat ei-negatiivisia, yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen.

$\begin{align*} \left(\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\right)^2&=\left|y\right|^2 \\ (x-0)^2+(y-2)^2&=y^2\\x^2+y^2-2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 &= y^2\\x^2+y^2-4y+4&=y^2\\-4y&=-x^2-4\ \parallel\ :(-4)\\y&=\frac{1}{4}x^2+1\end{align*}$

518. a)

Suoran, joka kulkee pisteen $(2, 1)$ kautta ja joka ei ole pystysuora, yhtälö on muotoa
$y - 1 = k(x - 2)$ eli $y = kx - 2k + 1$ .

Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla

$\begin{cases}y=x^2-6x+10\\y=kx-2k+1\end{cases}$

on yksi ratkaisu.

Saadaan yhtälö

$x^2-6x+10=kx-2k+1$

Siirretään kaikki termit vasemmalle puolelle.

$x^2-6x-kx+10+2k-1=0$
$x^2+(-k-6)x+2k+9=0$

Toisen asteen yhtälöllä $ax^2+bx+c=0$ on yksi ratkaisu, kun diskriminantti $D=0$ .

Lasketaan diskriminantti $D=b^2-4ac$

$\begin{align*}(-k-6)^2-4 \cdot 1 \cdot(2k+9)&=0\\k^2 + 2 \cdot (-k) \cdot (-6) + 6^2 -8k-36&=0\\k^2+12k +36-8k-36&=0\\k^2+4k&=0\\k(k+4)&=0\\k&=0\\\text{tai}\\k+4&=0\\k&=-4\end{align*}$

Kun suoran kulmakerroin $k = 0$ tai $k = -4$ , niin suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste.

Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun suora on $y$ -akselin suuntainen, mutta tällöin suoralla ei ole kulmakerrointa.

518. b)

Vastaavasti kuin $a$ -kohdassa, mutta nyt pitää olla kaksi ratkaisua, joten diskriminantti $D > 0$ .

Epäyhtälön $k^2+4k&>0$ ratkaisu on $k<-4$ tai $k>0$ .