4.3 (to 16.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Viikon pistetehtävä

Ohjeistus:

Ratkaise tehtävät välivaiheiden kanssa ilman teknisiä apuvälineitä.
Tarkista lopuksi GeoGebralla.
Kirjoita tehtävien ratkaisut math-demo.abitti.fi-sivuston kaavaeditorilla. Ota kuvakaappaukset kaavaeditorista ja GeoGebrasta ja liitä ne esimerkiksi Wordiin.
Tallenna ratkaisut OneDrivessä minun kanssani jakamaasi kansioon nimellä ympyrätehtävä viimeistään sunnuntaina 26.9.2021 klo 23.59.

Ympyrän yhtälö on $(x-2)^2+(y+3)^2=5$ . Mitkä ovat ympyrän keskipiste ja säde?
Määritä ympyrän $(x-2)^2+(y+3)^2=5$ pisteeseen $(4,-2)$ piirretyn tangentin yhtälö.
Onko edellä määrittämäsi tangentti myös ympyrän $x^2+y^2-12x-8y+32=0$ tangentti? Perustele laskemalla.

Tuntimuistiinpanot

Linkki tuntimuistiinpanoihin.

Tuntitehtävät 441, 442, 444, 446

441. a)

Ympyrän $(x-5)^2 + (y+1)^2 = 25$ keskipiste on $(5,-1)$ ja säde on $\sqrt{25}=5$ .

Lasketaan pisteen $(5,-1)$ etäisyys suorasta $3x-4y+6=0$ .

Käytetään suoran yleisen muodon $ax+by+c=0$ ja pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyyden laskemiseksi lauseketta

$\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\begin{cases}a=3\\b=-4\\c= 6\end{cases}$

ja $(x_0,y_0)=(5,-1)$

$\begin{align*}\frac{\left|3 \cdot 5 - 4 \cdot(-1) + 6 \right|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}&=\frac{\left|15+4+6\right|}{\sqrt{9+16}}\\&=\frac{\left|25\right|}{\sqrt{25}}\\&=\frac{25}{5}\\&=5\end{align*}$

441. b)

Suoran etäisyys ympyrän keskipisteestä on yhtä suuri kuin ympyrän säde, joten suora on ympyrän tangentti. Kuva II on oikea vaihtoehto.

442.

Lasketaan ympyrän $(x+1)^2+y^2=1$ keskipisteen $(-1,0)$ etäisyys suorasta $5x+12y-2=0$ .

$\begin{align*}\frac{\left|5 \cdot (-1) + 12 \cdot 0 -2 \right|}{\sqrt{5^2+12^12}}&=\frac{\left|-5+0-2\right|}{\sqrt{25+144}}\\&=\frac{\left|-7\right|}{\sqrt{169}}\\&=\frac{7}{13}\end{align*}$

Ympyrän säde $r=1$ ja sen keskipisteen etäisyys suorasta on $\dfrac{7}{13}<1$ , joten suoran etäisyys ympyrästä on pienempi kuin säde. Suora on ympyrän sekantti.

444. a)

Piste on ympyrällä, jos se toteuttaa ympyrän yhtälön. Sijoitetaan pisteen $(3,5)$ koordinaatit ympyrän $x^2+(y-3)^2=13$ yhtälöön.

$3^2+(5-3)^2=9+4=13$ .

Siten piste on ympyrällä, koska se toteuttaa sen yhtälön.

444. b)

Lasketaan keskipisteen $(0,3)$ ja sivuamispisteen $(3,5)$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin.

$k=\dfrac{5-3}{3-0}=\dfrac{2}{3}$ .

Koska tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan ja siten myös tätä suoraa vastaan, niiden kulmakertoimien tulo on $-1$ .

Tangentin kulmakerroin $k_t$ on

$\begin{align*}\frac{2}{3} \cdot k_t &= -1\ \parallel\ :\frac{2}{3}\\k_t &= \frac{-1}{\dfrac{2}{3}}\\k_t &=-1 \cdot \frac{3}{2}\\k_t &= -\frac{3}{2}\end{align*}$

Määritetään tangentin yhtälö sijoittamalla suoran yhtälön kaavaan $y-y_0=k(x-x_0)$ pisteeksi $(x_0,y_0)=(3,5)$ ja $k=-\dfrac{3}{2}$

$\begin{align*}y-5 &= -\frac{3}{2}(x-3)\\y-5 &= -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}\ \parallel\cdot 2\\2y-10 &=-3x + 9\\3x + 2y-19&=0\end{align*}$

446. a)

Katso kirjan appletti (https://www.geogebra.org/m/hyNBY8MQ#material/Q43cyhmn.)

Tangentteja on appletin perusteella kaksi $y=3x-11$ ja $y=3x+9$ .

446. b)

Koska tangentit ovat yhdensuuntaisia suoran $y=3x$ kanssa, niiden kulmakertoimet ovat $3$ . Tangentin yhtälö on siis muotoa $y=3x+c$ , mikä yleisessä muodossa on $3x-y+c=0$ .

Ympyrän $(x-1)^2+(y-2)^2=10$ yhtälöstä saadaan suoraan ympyrän keskipiste $(1,2)$ ja säde $\sqrt{10}$ .

Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä $(1,2)$ on ympyrän säde $\sqrt{10}$ .

Muodostetaan yhtälö, josta ratkaistaan vakio $c$ .

$\begin{align*}\frac{\left|3 \cdot 1 -1 \cdot 2 + c\right|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}&=\frac{\left|3-2+c\right|}{\sqrt{9+1}}\\&=\frac{\left|1+c\right|}{\sqrt{10}}\\\end{align*}$

Tämä etäisyys on yhtä suuri kuin $\sqrt{10}$ .

$\begin{align*}\frac{\left|1+c\right|}{\sqrt{10}}&=\sqrt{10}\ \parallel\ \cdot \sqrt{10}\\\left| 1+c \right| &= \sqrt{10} \cdot \sqrt{10}\\\left| 1+c \right| &= (\sqrt{10})^2\\\left| 1+c \right| &= 10\\1+c &=10\ \ \ \text{tai}\ 1+c=-10\\c&=9\ \ \ \text{tai}\ c=-11\end{align*}$

Kysytyt tangentit ovat $y=3x-11$ ja $y=3x+9$ .

Kotitehtävät 443, 460.

443. a)

Ympyrän säde on sama kuin sivuavan suoran $x+2y-5=0$ ja ympyrän keskipisteen $(4, 3)$ välinen etäisyys.

Käytetään suoran yleistä muotoa $ax+by+c=0$ ja pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyyden lauseketta

$\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$r=\frac{\left|1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 - 5\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{1+4}}=^{ \sqrt{5} \text{)}}\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}\cdot5}{\left(\sqrt{5}\right)^2} =\frac{\sqrt{5}\cdot5}{5}= \sqrt{5}$

443. b)

Ympyrän keskipiste on $(4,3)$ ja säde on $\sqrt{5}$ .

Ympyrän yhtälö on

$\begin{align*}(x-4)^2+(y-3)^2&=\left(\sqrt{5}\right)^2\\(x-4)^2+(y-3)^2&=5\end{align*}$

460. a)

Tässä käy mikä tahansa ympyrä, joka sivuaa suoraa $2x+3y-7=0$ .

Määritetään esimerkiksi ympyrä, jonka keskipiste on origo $(0,0)$ . Lasketaan tällaisen ympyrän säde siten, että määritetään ympyrän, joka keskipiste on origossa, etäisyys suorasta $2x+3y-7=0$ .

Pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyys suorasta $ax+by+c=0$ on $\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$r=\frac{\left|2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 7\right}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{\left|-7\right|}{\sqrt{4+9}}= \frac{7}{\sqrt{13}}$

Ympyrän säde on siis $\dfrac{7}{\sqrt{13}}$ .

Piirretään GeoGebralla ympyrä

$\begin{align*}x^2+y^2&=r^2\\x^2+y^2&= \left(\dfrac{7}{\sqrt{13}}\right)^2\\x^2+y^2&=\frac{49}{13}\end{align*}$

sekä suora $2x+3y-7=0$ , joka on yksi ympyrän tangentti.