4.3 osa 2 (ti 21.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tuntitehtävät 442, 447, 451a, 452, 455a

442.

Lasketaan ympyrän $(x+1)^2+y^2=1$ keskipisteen $(-1,0)$ etäisyys suorasta $5x+12y-2=0$ .

$\begin{align*}\frac{\left|5 \cdot (-1) + 12 \cdot 0 -2 \right|}{\sqrt{5^2+12^2}}&=\frac{\left|-5+0-2\right|}{\sqrt{25+144}}\\&=\frac{\left|-7\right|}{\sqrt{169}}\\&=\frac{7}{13}\end{align*}$

Ympyrän säde $r=1$ ja sen keskipisteen etäisyys suorasta on $\dfrac{7}{13}<1$ , joten suoran etäisyys ympyrästä on pienempi kuin säde. Suora on ympyrän sekantti.

447. a)

Piirretään suora $y=x-2$ ja ympyrä $(x-4)^2+(y-3)^2=5$ GeoGebralla.

Kuvan perusteella suora ja ympyrä leikkaavat pisteissä $(3,1)$ ja $(6,4)$ .

447. b)

Ratkaistaan suoran ja ympyrän leikkauspisteet sijoitusmenetelmällä. Kirjoitetaan yhtälöpari.

$\begin{cases}y=x-2\\(x-4)^2+(y-3)^2=5\end{cases}$

$\begin{align*}(x-4)^2+(x-2-3)^2&=5\\(x-4)^2+(x-5)^2&=5\\x^2 - 8x + 16 + x^2 -10x + 25 &=5\\2x^2 - 18x + 36 &=0\ \parallel :2\\x^2 - 9x + 18 &=0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö, joka on muotoa $ax^2+bx+c=0$ , toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:

$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\begin{cases}a=1\\b=-9\\c=18\end{cases}$

Sijoitetaan $a$ :n, $b$ :n ja $c$ :n arvot ratkaisukaavaan:

$\begin{align*}x &=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}\\x&=\frac{9 \pm \sqrt{9}}{2}\\x&=\frac{9 \pm 3}{2}\\x&=\frac{9-3}{2} & \text{tai}\ x&=\frac{9+3}{2}\\x&=\frac{6}{2} & x&=\frac{12}{2}\\x&=3 & x&=6\end{align*}$

Leikkauspisteiden $y$ -koordinaatit saadaan sijoittamalla luvut $x=3$ ja $x=6$ suoran yhtälöön $y=x-2$ .

Kun $x=3$ , niin $y=3-2=1$ .
Kun $x=6$ , niin $y=6-2=4$ .

Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat $(3,1)$ ja $(6,4)$ .

451. a)

Sijoitetaan suoran yhtälöstä $y=5$ ympyrän yhtälöön $x^2+y^2+2x-4y-20=0$ .

$\begin{align*}x^2 + 5^2 + 2x - 4 \cdot 5 - 20 &=0\\x^2 + 25 + 2x -20 -20 &=0\\x^2 + 2x -15 &=0\end{align*}$

$\begin{cases}a=1\\b=2\\c=-15\end{cases}$

$\begin{align*}x&=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{2}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}\\x&=\frac{-2 \pm 8}{2}\\x&=\frac{-2-8}{2} & \text{tai}\ x&=\frac{-2+8}{2}\\x&=\frac{-10}{2} & x &=\frac{6}{2}\\x&=-5 & x &=3\end{align*}$

Koska suoran kaikille pisteillä $y=5$ , leikkaupisteet ovat $(-5,3)$ ja $(3,5)$ .

Piirretään kuva GeoGebralla.

452.

Ympyröiden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla seuraava yhtälöpari:

$\begin{cases}x^2+y^2+4x-13=0\\x^2+y^2-2x-6y+5=0\end{cases}$

$\begin{cases}x^2+y^2+4x-13=0\\x^2+y^2-2x-6y+5=0\ \parallel \cdot (-1)\end{cases}$

$+\begin{cases}x^2+y^2+4x&-13=0\\-x^2-y^2+2x+6y&-5=0\\\cline{1-2}\end{cases}$
$6x+6y-18&=0$

Ympyröiden leikkauspisteet ovat suoralla $6x+6y-18=0$ .

Ympyröiden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla suoran ja jomman kumman ympyrän yhtälön muodostama yhtälöpari.

$\begin{cases}6x+6y-18=0\\x^2+y^2+4x-13=0\end{cases}$

Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon eli ratkaistaan siitä $y$ .

$\begin{align*}6x+6y-18&=0\\6y &=-6x+18\ \parallel\:6\\y &= -x + 3\end{align*}$

Sijoitetaan saatu $y$ :n lauseke ympyrän $x^2+y^2+4x-13=0$ yhtälöön ja ratkaistaan $x$ .

$\begin{align*}x^2 + y^2 + 4x - 13 &=0\\x^2 + (-x+3)^2 + 4x - 13 &=0\\x^2 +x^2 -6x + 9 + 4x -13 &=0\\2x^2 -2x -4 &=0\ \parallel\ :2\\x^2-x-2 &=0\\x&=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\&=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2}\\x&=\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\\x&=\frac{1 \pm 3}{2}\\x&=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=1\\\text{tai}\\x&=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\\\end{align*}$

Leikkauspisteiden $y$ -koordinaatit ratkaistaan yhtälöstä $y=-x+3$ .

Kun $x=-1$ , niin $y=-(-1)+3=1+3=4$ .
Kun $x=2$ , niin $y=-2+3=-1$ .

Ympyrät leikkaavat pisteissä $(-1,4)$ ja $(2,-1)$ .

Piirretään kuva GeoGebralla.

455. a)

Ympyrän $x^2+y^2-10x-2y+1=0$ keskipistemuoto on $(x-5)^2+(y-1)^2=25$ .

Varmista, että osaat sen muodostaa.

Keskipiste on siis $(5,1)$ . Säde on $\sqrt{25}=5$ .

Lasketaan pisteen $P=(0,6)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä.

$\sqrt{(0-5)^2+(6-1)^2}=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$ .

Koska etäisyys $\sqrt{50}$ on suurempi kuin ympyrän säde $5$ , piste $P$ on ympyrän ulkopuolella.

Piirretään kuva GeoGebralla.

Ulkopuolisen pisteen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia ympyrälle.

Olkoon tangentin kulmakerroin $k$ . Tangentti kulkee pisteen $P=(0,6)$ kautta.

Muodostetaan tangentin yhtälö.

$\begin{align*}y-y_0 &=k(x-x_0)\\y-6 &= k(x-0)\\y-6 &= kx\\kx-y+6&=0\end{align*}$

Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä $(5,1)$ on ympyrän säteen suuruinen eli $5$ .

Muodostetaan tangentin (siis suoran) etäisyyden lauskeke pisteeestä.

Yleisesti: Suoran $ax + by + c=0$ etäisyys pisteestä $(x_0,y_0)$ on

$\frac{\left|ax_0 + by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Nyt siis piste $(x_0,y_0)=(5,1)$ ja

$\begin{cases}a=k\\b=-1\\c=6\end{cases}$

Sijoitetaan etäisyyden lausekkeeseen ja merkitään se yhtäsuureksi kuin säde $5$ .

$\begin{align*}\frac{\left| k \cdot 5 - 1 \cdot 1 + 6\right|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}}&=5\\\frac{\left| 5k+5\right|}{\sqrt{k^2 +1}}&=5\ \parallel\ \cdot \sqrt{k^2+1}\\\left| 5k+5\right|&=5 \sqrt{k^2+1}\ \parallel\ ()^2\ \text{molemmat puolet}\ \ge 0\\(5k + 5)^2&=\left(5\sqrt{k^2+1}\right)^2\\25k^2 + 50k + 25 &=25(k^2+1)\\25k^2 + 50 k + 25 &=25k^2+25\\50k &=0\\k&=0\end{align*}$

Ympyrällä on ei-pystysuora tangentti $y-6=0 \cdot (x-0)$ eli $y=6$ .

Ympyrällä voi olla myös pystysuora tangentti. Koska tangentti kulkee pisteen $(0,6)$ kautta, ainoa mahdollinen pystysuora tangentti on suora $x=0$ . Tämän etäisyys ympyrän keskipisteestä $(5,1)$ on $x$ -koordinaattien etäisyys $\left|5-0\right|=5$ , joka on yhtä suuri kuin ympyrän säde.
Suora $x=0$ on siis myös ympyrän tangentti.

Vastaus: Pisteen $(0,6)$ kautta kulkevien ympyröiden tangenttien yhtälöt ovat $y=6$ ja $x=0$ .

Kotitehtävät 451b, 453, 461.

451. b)

Suoran $x-2y=0$ ja ympyrän $x^2+y^2+2x-4y-20=0$ leikkauspisteet.

Ratkaistaan suoran yhtälöstä $x=2y$ . Sijoitetaan se ympyrän yhtälössä $x$ :n paikalle ja ratkaistaan $y$ .

$\begin{align*} x^2+y^2+2x-4y-20&=0 \\(2y)^2+y^2+ 2 \cdot 2y -4y-20&=0\\4y^2+y^2+4y-4y-20&=0\\5y^2-20&=0\\5y^2&=20\ \parallel\ :5\\y^2&=\frac{20}{5}\\y^2&=4\ \parallel\ \sqrt{\ }\\y&=\pm \sqrt{4}\\y&=\pm 2\end{align*}$

Ratkaistaan $x$ , kun $y=-2$ ja $y=2$ . Sijoitetaan $y$ :n arvot suoran yhtälöön.

Kun $y=-2$ , $x=2 \cdot (-2) = -4$ . Leikkauspiste on $(-4,-2)$ .
Kun $y=2$ , $x=2 \cdot 2 = 4$ . Leikkauspiste on $(4,2)$

Piirretän GeoGebralla.

453. a)

Ympyrän keskipiste on $(3,0)$ ja säde $\sqrt{10}$ .

Ympyrän keskipistemuoto on

$\begin{align*}(x-3)^2+(y-0)^2&=\left(\sqrt{10}\right)^2\\(x-3)^2+y^2&=10\end{align*}$

Ratkaistaan $x$ suoran yhtälöstä $x-2y+2=0$ , eli $x=2y-2$ . Sijoitetaan tämä $x$ :n paikalle ympyrän yhtälössä ja ratkaistaan $y$ .

$\begin{align*}(x-3)^2+y^2&= 10 \\(2y-2-3)^2+y^2&=10\\(2y-5)^2+y^2&=10\\(2y)^2 -2 \cdot 2y \cdot 5 + 5^2+y^2 &=10\\4y^2 +y^2 -20y + 25-10&=0\\5y^2-20y+15&=0\ \parallel\ :5\\y^2-5y+3&=0\\y&=1\ \text{tai}\ y=3\end{align*}$

Ratkaise yllä oleva toisen asteen yhtälö vaikkapa GeoGebralla.

Ratkaistaan $x$ :t arvot sijoittamalla suoran yhtälöön saadut $y$ :n arvot.

Kun $y=1$ , $x=2 \cdot 1 -2 =0$ .
Kun $y=3$ , $x=2 \cdot 3 -2 =6 - 2=4$ .

Leikkauspisteet ovat $(0,1)$ ja $(4,3)$ .

453. b)

Kirjoitetaan ympyrän keskipistemuoto normaalimuotoon.

$\begin{align*} (x-3)^2+y^2&=10 \\x^2- 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 + y^2&=10\\x^2-6x+9+y^2&=10\\x^2 -6x +y^2 + 9 -10&=0\\ x^2 -6x +y^2 -1&=0\\x^2+y^2-6x-1&=0\end{align*}$

Ympyröiden leikkauspisteet saadaan alla olevan yhtälöparin ratkaisuista.

$\begin{cases} x^2 +y^2 -6x -1=0 \\x^2+y^2-4x-2y-15=0\end{cases}$

Kerrotaan alempi yhtälö $-1$ :llä lasketaan yhtälöt puolittain yhteen. Tällöin saadaan

$\begin{cases} x^2 +y^2 -6x -1=0 \\x^2+y^2-4x-2y-15=0\ \parallel\ \cdot (-1)\end{cases}$

$+\begin{cases} &x^2 +y^2 -6x -1=0 \\-&x^2-y^2+4x+2y+15=0\\\end{cases}$

$-2x+2y+14=0$

Ympyröiden leikkauspisteet ovat suoralla $-2x + 2y + 14 = 0$ .
Ympyröiden leikkauspisteet saadaan suoran ja ympyrän $x^2 + y^2 - 6x - 1 = 0$ yhtälöiden muodostamasta yhtälöparista.

$\begin{cases} -2x + 2y + 14 = 0 \\x^2 +y^2 -6x -1=0 \\\end{cases}$

Ratkaistaan suoran yhtälöstä $y$ .

$\begin{align*}-2x+2y+14&=0\\2y&=2x-14\ \parallel\ :(-2)\\y&=x-7\end{align*}$

Sijoitetaan $y=x-7$ ympyrän $x^2 +y^2 -6x -1=0$ yhtälöön ja ratkaistaan $x$ .

$\begin{align*} x^2 +y^2 -6x -1&=0 \\ x^2 +( x-7)^2 -6x -1&=0 \\x^2+x^2-14x+49-6x-1&=0\\2x^2-20x+48&=0\\x&=4\ \text{tai}\ x=6\end{align*}$

Ratkaise yllä oleva toisen asteen yhtälö esimerkiksi GeoGebralla.

Ratkaistaan leikkauspisteen $y$ -koordinaatit yhtälöstä $y = x - 7$ .

Kun $x = 4$ , niin $y = 4 - 7 = -3$ .
Kun $x = 6$ , niin $y = 6 - 7 = -1$ .

Ympyrät leikkaavat pisteissä $(4, -3)$ ja $(6, -1)$ .

461.

Piste $(2, 3)$ on ympyrän ulkopuolella, koska sen etäisyys keskipisteeseen
$(0, 2)$ on $\sqrt{(0-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$ eli suurempi kuin säde $1$ .
Ulkopuolisen pisteen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia ympyrälle.

Pisteen $(2, 3)$ kautta kulkevan, ei-pystysuoran tangentin yhtälö on muotoa
$y - 3 = k(x - 2)$ eli $kx - y - 2k + 3 = 0$ .

Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä ( $0, 2)$ on ympyrän säde $1$ .
Muodostetaan yhtälö, josta ratkaistaan $k$ .

$\begin{align*}\frac{\left|k \cdot 0- 1\cdot 2-2k+3\right|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}&=1\\ \frac{\left|-2k+1\right|}{\sqrt{k^2+1^2}}&=1\ \parallel\ \cdot \sqrt{k^2+1^2}\\ \left|-2k+1\right| &= \sqrt{k^2+1^2}\ \parallel\ ()^2\\(1-2k)^2&=k^2+1^2\\1-4k+k^2&=k^2+1^2\\3k^2-4k&=0\\k(3k-4)&=0\\k&=0\\\text{tai}\ 3k-4&=0\\k&=\frac{4}{3}\end{align*}$

Tangentit ovat

$\begin{align*}y-3&=\frac{4}{3}(x-2)\\y-3&=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\\y&=\frac{4}{3}x -\frac{8}{3} +^{\text{3)}}3\\y&=\frac{4}{3}x +\frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*}y-3&=0(x-2)\\y-3&=0\\y&=3\end{align*}$