4.2 (ti 14.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tiistain tuntimuistiinpanot.

Testin (9.9.2021) ratkaisut.

Tunti- ja kotitehtävien ratkaisut 421, 422, 423, 425, 426, 427a, 431, 432, 433, 434, 436.

421. a)

$(x+3)^2=x^2+ 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2+6x+9$

421. b)

$\begin{align*}(x-2)^2+(y-1)^2&=5\\x^2-2\cdot x \cdot 2+2^2 +y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 &=5\\x^2 - 4x + 4+ y^2 - 2y +1 &=5\\x^2 + y^2 - 4x -2y +4 +1-5&=0\\x^2 + y^2 - 4x -2y &=0\end{align*}$

422. a)

$\begin{align*}x^2+8x+\underline{\ \ \ }&=(x+\underline{\ \ \ })^2\\x^2+8x+16&=(x+4)^2\end{align*}$

$\begin{align*}y^2-10y+\underline{\ \ \ }&=(y-\underline{\ \ \ })^2\\y^2-10y+25&=(y-5)^2\end{align*}$

Puuttuvat luvut ovat 25 ja 5.

422. b)

$\begin{align*}x^2+y^2+8x-10y-8&=0\\x^2+8x+\underline{\ \ \ } +y^2-10y+\underline{\ \ \ }&=8\\x^2+8x+16+y^2-10y+25&=8+16+25\\(x+4)^2+(y-5)^2&=49\end{align*}$

423. a)

Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon

$\begin{align*}x^2+y^2-6x-4y-3&=0\\x^2-6x+\underline{\ \ \ } +y^2-4y+\underline{\ \ \ }&=3\\x^2-6x+9 + y^2-4y + 4&=3+9+4\\(x-3)^2+(y-2)^2&=16\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(3,2)$ ja säde $\sqrt{16} = 4$ .

423. b)

Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*}x^2+y^2+4x-2y-4&=0\\x^2 +4x+\underline{\ \ \ } +y^2-2y+\underline{\ \ \ }&=4\\x^2 + 4x+4 + y^2-2y + 1&=4+4+1\\(x+2)^2+(y-1)^2&=9\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(-2,1)$ ja säde $\sqrt{9} = 3$ .

423. c)

Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*} x^2+y^2+10x+8y+28&=0\\x^2 +10x+\underline{\ \ \ } +y^2+8y+\underline{\ \ \ }&=-28\\x^2 + 10x+25 + y^2+8y + 16&=-28+25+16\\(x+5)^2+(y+4)^2&=13\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(-5,-4)$ ja säde $\sqrt{13}$ .

423. d)

Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*} x^2+y^2&=8\\(x-0)^2+(y-0)^2&=8\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(0,0)$ ja säde $\sqrt{8}=\sqrt{4 \cdot 2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$ .

425. a)

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*}$x^2+y^2+8x &= 4\\ x^2+8x+\underline{\ \ \ }+y^2&=4\\ x^2+8x+ \textcolor{red}{16}+y^2&=4+\textcolor{red}{16}\\(x+4)^2+(y-0)^2&=20\end{align*}$

Kyseessä on ympyrä, jonka

keskipiste on $(-4,0)$ ja
säde $\sqrt{20}=\sqrt{4 \cdot 5}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} =2\sqrt{5}$ .

425. b)

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*}$x^2+y^2-6x-2y+14 &= 0\\ x^2-6x+\underline{\ \ \ }+y^2 -2y +\underline{\ \ \ } &=-14\\ x^2-6x+ \textcolor{red}{9}+y^2 - 2y + \textcolor{red}{ 1}&=-14+\textcolor{red}+{1} +{9}\\\underset{\geq 0}{\underbrace{(x-3)^2}}+ \underset{\geq 0}{\underbrace{(y-1)^2}}&=-4\end{align*}$

Kahden neliön summa ei voi olla negatiivinen, joten yhtälö ei esitä mitään käyrää.

425. c)

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*}$x^2+y^2-4x+2y+5 &= 0\\ x^2-4x+\underline{\ \ \ }+y^2 +2y +\underline{\ \ \ } &=-5\\ x^2-4x+ \textcolor{red}{4}+y^2 + 2y + \textcolor{red}{ 1}&=-5+ \textcolor {red}{4} + \textcolor{red} {1}\\(x-2)^2+ (y+1)^2&=0\end{align*}$

Kyseessä on piste $(2,-1)$ .

426. a)

Ympyrän keskipistemuoto on

$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{5}{4}$

Ympyrän

keskipiste on $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ ja
säde on $\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ .

Kirjoitetaan yhtälö yleiseen muotoon:

$\begin{align*}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2&=\frac{5}{4}\\x^2-2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2&=\frac{5}{4}\\x^2-x+\frac{1}{4} +y^2&=\frac{5}{4}\\x^2+y^2-x +\frac{1}{4} - \frac{5}{4}&=0\\x^2+y^2- x +\frac{1-5}{4}&=0\\x^2+y^2-x+ \frac{-4}{4}&=0\\x^2+y^2-x-1&=0\end{align*}$

426. b)

Ympyrän yhtälö yleisessä muodossa on $x^2+y^2-3x+10y+21=0$

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*} x^2+y^2-3x+10y+21=0 \\ x^2-3x+\underline{\ \ \ }+y^2 + 10y + \underline{\ \ \ } &=-21\\ x^2-3x+ \textcolor{red} { \left( \frac{3}{2} \right) ^2 } +y^2 + 10y + \textcolor{red}{ \left( 5\right)^2} &=-21+ \textcolor{red} { \left( \frac{3}{2} \right) ^2 } + \textcolor{red}{ \left( 5\right)^2} \\ x^2-3x+ \textcolor{red} { \frac{9}{4} } +y^2 + 10y + \textcolor{red}{ 25} &=-21+ \textcolor{red} { \frac{9}{4} } + \textcolor{red}{25} \\ x^2-3x+ \frac{9}{4} +y^2 + 10y + 25 &=^{\text{4)}}4+ \frac{9}{4}\\ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 + (y+5)^2&=\frac{16}{4}+\frac{9}{4} \\\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 + (y+5)^2&=\frac{25}{4}\end{align*}$

Ympyrän

keskipiste on $\left(\dfrac{3}{2},-5\right)$ ja
säde on $\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt {25}}{\sqrt{4}} =\dfrac{5}{2}$ .

427. a)

Ympyrän yhtälö yleisessä muodossa on $4x^2+4y^2-4x-8y-3=0$

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*} 4x^2+4y^2-4x-8y-3&=0\ \parallel\ :4\\ x^2+y^2-x-2y-\frac{3}{4}&=0 \\ x^2-x+\underline{\ \ \ }+y^2 -2y + \underline{\ \ \ } &= \frac{3}{4} \\ x^2-x+ \textcolor{red} { \left( \frac{1}{2} \right) ^2 } +y^2 -2y + \textcolor{red}{ 1^2} &= \frac{3}{4} + \textcolor{red} { \left( \frac{1}{2} \right) ^2 } + \textcolor{red}{ 1^2} \\ x^2-x+ \textcolor{red} { \frac{1}{4} } +y^2 -2y + \textcolor{red}{ 1} &= \frac{3}{4} + \textcolor{red} { \frac{1}{4} } + \textcolor{red}{1} \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + (y-1)^2&=2\end{align*}$

Kyseessä on ympyrä, jonka

keskipiste on $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$ ja
säde on $\sqrt{2}$ .

427. b)

Ympyrän yhtälö yleisessä muodossa on $3x^2+3y^2-10y+7=0$

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*}3x^2+3y^2-10y+7=0\ \parallel\ :3\\ x^2+y^2-\frac{10}{3}y+\frac{7}{3}=0\\ x^2+y^2-\frac{10}{3}y+\underline{\ \ \ } &= \frac{7}{3} \\ x^2+y^2-2 \cdot y \cdot \frac{5}{3} +\frac{25}{9} &= -^{3\text{)}}\frac{7}{3} + \frac{25}{9} \\ (x-0)^2 + \left(y-\frac{5}{3}\right)^2 &= -\frac{21}{9} + \frac{25}{9} \\ (x-0)^2 + \left(y-\frac{5}{3}\right)^2&=\frac{4}{9}\end{align*}$

Kyseessä on ympyrä, jonka

keskipiste on $\left(0,\dfrac{5}{3}\right)$ ja
säde on $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$ .

427. c)

Ympyrän yhtälö yleisessä muodossa on $x^2+y^2-2\sqrt{3}x-6y+12=0$

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*}x^2+y^2-2\sqrt{3}x-6y+12=0 \\x^2-2\sqrt{3}x+\underline{\ \ \ }+y^2-6y +\underline{\ \ \ }=-12\\ x^2-2 \cdot x \cdot \sqrt{3} +3+y^2-2 \cdot y \cdot 3 +9=-12+3+9 \\ (x-\sqrt{3})^2 + (y-3)^2 &= 0\end{align*}$

Yhtälö esittää pistettä $(\sqrt{3},3)$ .

431.

Kirjoitetaan ympyröiden yhtälöt keskipistemuotoon.

$\begin{align*}x^2+y^2-6x-6y&=0\\x^2-6x +\underline{\ \ \ } + y^2-6y+\underline{\ \ \ }&=0\\x^2-6x+9+y^2-6x+9&=0+9+9\\(x-3)^2+(y-3)^2&=18\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(3,3)$ ja säde $r=\sqrt{18}=\sqrt{9 \cdot 2}=3\sqrt{2}$ .

$\begin{align*}x^2+y^2-4x-6y-19&=0\\x^2-4x +\underline{\ \ \ } + y^2-6y+\underline{\ \ \ }&=19\\x^2-4x+4+y^2-6y+9&=19+4+9\\(x-2)^2+(y-3)^2&=32\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(2,3)$ ja säde $r=\sqrt{32}=\sqrt{16 \cdot 2}=4\sqrt{2}$ .

Lasketaan ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys

$\sqrt{(3-2)^2+(3-3)^2}=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1$ .

Koska ympyröiden keskipisteiden etäisyys on pienempi kuin kummankaan ympyrän säde, on toisen ympyrän keskipiste toisen ympyränä sisällä. Tällöin ympyrät joko leikkaavat toisiaan tai ovat sisäkkäin.

Alla on kuva tilanteessa GeoGebralla piirrettynä.

Pienemmän ympyrän pisteiden etäisyys sen keskipisteestä on $3 \sqrt{2}$ . Koska ympyröiden keskipisteiden etäisyys on 1, on pienemmän ympyrän kehän
pisteiden etäisyys isomman ympyrän keskipisteestä korkeintaan $3 \sqrt{2}+1$ . Koska $1 < 3\sqrt{2}$ , on tämä etäisyys aina pienempi kuin isomman ympyrän säde $4 \sqrt{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}$ .

Pienempi ympyrä on isomman ympyrän sisässä.

432.

Kun ympyrät sivuavat toisiaan, niiden keskipisteiden etäisyys on sama kuin säteiden summa.

Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon.

$\begin{align*} x^2+y^2-2x-2y-2&=0\\ x^2-2x+1+y^2-2y+1&=2+1+1\\ (x-1)^2+(y-1)^2&=4\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(1,1)$ ja säde on $2$ .

Lasketaan pisteen $(3,4)$ etäisyys ympyrän $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ keskipisteestä $(1,1)$ .

$\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

Ympyröiden säteiden summa on $\sqrt{13}$ . Siten toisen ympyrän säde on

$\sqrt{13}-2$ tai $\sqrt{13}+2$ .

Piirretään kuva GeoGebralla. Tässä on siis kaksi mahdollisuutta:

ympyrät eivät ole sisäkkäin, jolloin ympyrät sivuavat toisiaan tai

ympyrä $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ on ympyrän, jonka keskipiste on $(3,4)$ , sisällä.

433.

Ympyrän yhtälö yleisessä muodossa on $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ . Koska ympyrä kulkee pisteiden $(0, 3)$ , $(-1, 0)$ ja $(1, -4)$ kautta, ne toteuttavat ympyrän yhtälön.

Sijoitetaan kolmen pisteen $x$ -, ja $y$ -koordinaatit ympyrän yleiseen lausekkeeseen. Tällöin saadaan kolme yhtälöä.

Piste $(0,3)$ :

$\begin{align*}0^2+3^2+ a \cdot 0 + b \cdot 3 + c &=0\\0+9+0+3 b + c &=0\\3b+c+9&=0\end{align*}$

Piste $(-1,0)$ :

$\begin{align*} (-1)^2+0^2+a \cdot (-1) + b \cdot 0 + c&=0\\1+0-a+0+c&=0\\-a+c+1&=0\end{align*}$

Piste $(1,-4)$ :

$\begin{align*} 1^2+(-4)^2+a \cdot 1 + b \cdot (-4)+c&=0\\1+16+a-4b+c&=0\\a-4b+c+17&=0\end{align*}$

Saadaan kolmen yhtälön yhtälöryhmä.

$\begin{cases} 3b+c+9=0 \\ -a+c+1=0 \\ a-4b+c+17=0\end{cases}$

Ratkaistaan yhtälöryhmästä $a$ , $b$ ja $c$ GeoGebralla (CAS)

Ratkaisu on siis

$\begin{cases} a=-8 \\ b=0 \\ c=-9\end{cases}$

Siten ympyrän yhtälö yleisessä muodossa on $x^2 + y^2 -8x -9 = 0$

Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa on

$\begin{align*} x^2 + y^2 -8x -9 &= 0\\x^2-8x+y^2&=9\\x^2-8x+16+y^2&=9+16 \\(x-4)^2+y^2&=25\end{align*}$

Ympyrän keskipiste on $(4,0)$ ja säde $\sqrt{25}=5$ .

434.

Pisteet ovat saman ympyrän kehällä. Kysytty piste on ympyrän keskipiste.
Sijoitetaan pisteet $A=(0, 2)$ , $B=(1, 0)$ ja $C=(3, -1)$ ympyrän yleiseen lausekkeeseen
$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ .

Tällöin saadaan kolme yhtälöä.

Piste $(0,2)$ :

$\begin{align*}0^2+2^2+a \cdot 0 +b \cdot 2 + c&=0\\0+4+0+2b+c&=0\\2b+c+4&=0\end{align*}$

Piste $(1,0)$ :

$\begin{align*}1^2+0^2+ a \cdot 1 + b \cdot 0 + c&=0\\1+0+a+0+c&=0\\a+c+1&=0\end{align*}$

Piste $(3,-1)$ :

$\begin{align*}3^2 + (-1)^2+a \cdot 3 + b \cdot (-1)+c=0\\9+1+3a-b+c&=0\\3a-b+c+10&=0\end{align*}$

Saadaan kolmen yhtälön yhtälöryhmä.

$\begin{cases} 2b+c+4=0 \\ a+c+1=0 \\ 3a-b+c+10=0\end{cases}$

Ratkaistaan yhtälöryhmästä $a$ , $b$ ja $c$ GeoGebralla (CAS)

Ratkaisu on siis

$\begin{cases} a=-7 \\ b=-5\\ c=6\end{cases}$

Siten ympyrän yhtälö yleisessä muodossa on $x^2 + y^2 -7x -5y+6 = 0$ .

Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa on

$\begin{align*} x^2 + y^2 -7x -5y+6 &= 0\\x^2-7x+\left(\frac{7}{2}\right)^2 +y^2-5y +\left(\frac{5}{2}\right)^2&=-6+ \left(\frac{7}{2}\right)^2 +\left(\frac{5}{2}\right)^2 \\\left(x- \frac{7}{2}\right)^2+\left(y- \frac{5}{2} \right)^2&=-^{\text{4)}}6+\frac{49}{4}+\frac{25}{4}\\ \left(x- \frac{7}{2}\right)^2+\left(y- \frac{5}{2} \right)^2&= -\frac{24}{4}+ \frac{49}{4}+\frac{25}{4}\\ \left(x- \frac{7}{2}\right)^2+\left(y- \frac{5}{2} \right)^2&= \frac{50}{4}\\ \left(x- \frac{7}{2}\right)^2+\left(y- \frac{5}{2} \right)^2&= \frac{25}{2}\end{align*}$

Ympyrän

keskipiste on $\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{5}{2}\right)$ ja
säde $\sqrt{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot5}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

Vastaus: Pisteet $A=(0, 2)$ , $B=(1, 0)$ ja $C=(3, -1)$ ovat säteen $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ etäisyydellä pisteestä $\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{5}{2}\right)$ .

436. a)

Piirretään yhtälö GeoGebralla.

Kokeillaan liukysäätimen eri arvoilla, milloin yhtälö $x^2+ y^2 - 4y + a = 0$ esittää pistettä. Huomataan, että arvolla $a = 4$ yhtälö esittää pistettä.