4.1 (to 9.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Linkki tuntimuistiinpanoihin

Tuntitehtävien 401, 402, 405, 407 ja 410 ratkaisut

401. a)

Muodostetaan ympyrän yhtälö kaavalla

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Kaavassa ympyrän keskipiste $(x_0,y_0)=(-2,5)$ ja säde $r=6$ .

$\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-(-2))^2+(y-5)^2&=6^2\\(x+2)^2+(y-5)^2&=36\end{align*}$

401. b)

Muodostetaan ympyrän yhtälö kaavalla

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Kaavassa ympyrän keskipiste $(x_0,y_0)=(0,-4)$ ja säde $r=3$ .

$\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-0)^2+(y-(-4))^2&=3^2\\x^2+(y+4)^2&=9\end{align*}$

401. c)

Muodostetaan ympyrän yhtälö kaavalla

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Kaavassa ympyrän keskipiste $(x_0,y_0)=(\dfrac{2}{3},0)$ ja säde $r=\sqrt{7}$ .

$\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-\frac{2}{3})^2+(y-0)^2&=(\sqrt{7})^2\\(x-\frac{2}{3})^2+y^2&=7\end{align*}$

402. a)

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon, josta nähdään keskipiste ja säde

$(x-7)^2+(y-(-6))^2=3^2$

Keskipiste on $(7,-6)$ ja säde 3.

402. b)

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon, josta nähdään keskipiste ja säde

$(x-(-5))^2+(y-2)^2=(\sqrt{11})^2$

Keskipiste on $(-5,2)$ ja säde $\sqrt{11}$ .

402. c)

Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon, josta nähdään keskipiste ja säde

$(x-0)^2+(y-(-1))^2=\left(\dfrac{2}{5}\right)^2$

Keskipiste on $(0,-1)$ ja säde $\dfrac{2}{5}$ .

405.

Lasketaan pisteen $A=(-6,1)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä $(-3,4)$ .

$\sqrt{(-3-(-6))^2+(4-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$ .

Koska pisteen $A$ etäisyys keskipisteestä on pienempi kuin säde $\sqrt{20}$ , piste $A$ on ympyrän sisäpuolella.

Lasketaan pisteen $B=(-1,0)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä $(-3,4)$ .

$\sqrt{(-3-(-1))^2+(4-0)^2}=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ .

Koska pisteen $B$ etäisyys keskipisteestä on sama kuin säde $\sqrt{20}$ , piste $B$ on ympyrällä.

Lasketaan pisteen $C=(1,7)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä $(-3,4)$ .

$\sqrt{(-3-1)^2+(4-7)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ .

Koska pisteen $C$ etäisyys keskipisteestä on suurempi kuin säde $\sqrt{20}$ , piste $C$ on ympyrän ulkopuolella.

407.

Ympyrän keskipiste on halkaisijan keskipiste eli

$\left(\frac{-4+2}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2},\frac{4}{2}\right)=(-1,2)$ .

Ympyrän säde on keskipisteen etäisyys halkaisijan päätepisteeseen.
Lasketaan keskipisteen $(-1,2)$ ja pisteen $(-4,1)$ etäisyys.

$r=\sqrt{(-1-(-4))^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ .

Ympyrän yhtälö on

$\begin{align*}(x-(-1))^2+(y-2)^2&=(\sqrt{10})^2\\(x+1)^2+(y-2)^2&=10\end{align*}$

410. a)

Neliön keskipiste on $(0,0)$ ja yksi kärkipiste on $(2,2)$ . Muut kärkipisteet ovat $(-2,2)$ , $(-2,-22)$ ja $(2,-2)$ .

Ympyrän keskipiste on sama kuin neliön keskipiste eli origo $(0,0$ .

Ympyrän yksi kehäpiste on neliön kärki $(2,2)$ . Ympyrän säde on kehäpisteen etäisyys keskipisteestä.

$r=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}$

Muodostetaan ympyrän yhtälö. Keskipiste on $(0,0)$ ja säde $\sqrt{8}$ .

$\begin{align*}(x-0)^2+(y-0)^2&=(\sqrt{8})^2$\\x^2+y^2&=8\end{align*}$

410. b)

Neliön sivun pituus on $4$ , joten sen pinta-ala on $A_\text{neliö}=4^2=16$ .

Ympyrän pinta-ala on $A_\text{ympyrä}=\pi \cdot (\sqrt{8})^2=\pi \cdot 8 = 8 \pi$ .

Neliön ja ympyrän pinta-alojen suhde on

$\dfrac{A_\text{neliö}}{A_\text{ympyrä}}=\dfrac{16}{8\pi}=\dfrac{2}{\pi}$ .

Kotitehtävien 403, 409, 413, 417 ratkaisut.

Ympyrän keskipiste $P=(-1,2)$ ja piste, jonka kautta ympyrä kulkee on, $A=(-3,1)$ .

403. b)

Muodostetaan ympyrän yhtälö kaavalla

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Kaavassa ympyrän keskipiste $(x_0,y_0)=(-1,2)$ ja ympyrän säde $r$ on a)-kohdassa laskettu $\sqrt{5}$ .

$\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-(-1))^2+(y-2)^2&=(\sqrt{5})^2\\(x+1)^2+(y-2)^2&=5\end{align*}$

Ympyrän säde on pisteiden $P$ ja $A$ välinen etäisyys $r$ eli

$r=\sqrt{(-1)-(-3))^2+(2-1)^2}=\sqrt{(-1+3)^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ .

403. c)

Osoitetaan väite todeksi sijoittamalla pisteen $B=(1,3)$ koordinaatit ympyrän yhtälöön:

$\begin{align*} (x+1)^2+(y-2)^2&= (1+1)^2+(3-2)^2 \\&=2^2+1^2\\&=4+1\\&=5\end{align*}$

Koska ympyrän yhtälö toteutuu, piste $B$ on ympyrällä.

SIjotetaan pisteen $C=(-3,2)$ koordinaatit ympyrän yhtälöön ja tutkitaan toteutuuko yhtälö.

$\begin{align*} (x+1)^2+(y-2)^2&= (-3+1)^2+(2-2)^2 \\&=(-2)^2+0^2\\&=4+0\\&=4\\& \neq 5\end{align*}$

Koske ympyrän yhtälö ei toteudu, piste $C$ ei ole ympyrällä.

409. a)

Ympyrän $(x+3)^2+(y-5)^2=8$ keskipiste on $(-3,5)$ ja säde $\sqrt{8}=\sqrt{4\ \cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$ .

Ympyrän $(x-9)^2+y^2=18$ keskipiste on $(9,0)$ ja säde $\sqrt{18}=\sqrt{9 \cdot 2}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$ .

Piirretään ympyrät GeoGebralla.

Tee ympyrät toiminnolla Ympyrä: Keskipiste ja Säde. Valitse keskipiste ja anna säteen suuruus. Neliöjuuren saat virtuaalinäppäimistöltä tai kirjoittamalla \sqrt(8).

Määritä jana keskipisteiden välille.
Määritä keskipisteiden välisen janan ja kummankin ympyrän leikkauspisteet.
Määritä jana leikkaupisteiden välille.
Mittaa sen pituus.

409. b)

Ympyröiden välinen etäisyyden määrittämiseksi lasketaan ensin ympyröiden keskipisteiden etäisyys. Kun tästä vähennetään ympyröiden säteet ( $2\sqrt{2}$ ja $3\sqrt{2}$ ) saadaan ympyröiden etäisyys.

Keskipisteiden välinen etäisyys eli pisteiden $A=(-3,5)$ ja $B=(9,0)$ välinen etäisyys on

$\sqrt{(9-(-3))^2+(0-5)^2}=\sqrt{(12)^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$

Ympyröiden välinen etäisyys on

$13-2\sqrt{2}- 3\sqrt{2} =15- 3\sqrt{2}$

413. a)

Pisteet ovat ympyrällä, jos ne toteuttavat ympyrän yhtälön $(x-3)^2+(y-2)^2 =10$ .

Piste $A=(4,-1)$ :

$\begin{align*} (x-3)^2+(y-2)^2&= (4-3)^2+(-1-2)^2 \\&=1^2+(-3)^2\\&=1+9\\&=10\end{align*}$

Koska ympyrän yhtälö toteutuu, piste $A$ on ympyrällä.

Piste $B=(0,1)$ :

$\begin{align*} (x-3)^2+(y-2)^2&= (0-3)^2+(1-2)^2 \\&=(-3)^2+(-1)^2\\&=9+1\\&=10\end{align*}$

Koska ympyrän yhtälö toteutuu, piste $B$ on ympyrällä.

Piste $C=(0,3)$ :

$\begin{align*} (x-3)^2+(y-2)^2&= (0-3)^2+(3-2)^2 \\&=(-3)^2+1^2\\&=9+1\\&=10\end{align*}$

Koska ympyrän yhtälö toteutuu, piste $C$ on ympyrällä.

Piirretään ympyrä $(x-3)^2+(y-2)^2=10$ . Ympyrän keskipiste on $(3,2)$ ja säde on $\sqrt{10}$ .

Ympyrän kaarta $ABC$ vastaava keskuskulma saadaan pisteiden $P$ ja $A$ sekä $P$ ja $C$ kautta kulkevien suorien välisen kulman avulla.

Pisteiden $P$ ja $A$ välisen suoran kulmakerroin on

$\begin{align*}k_1&=\frac{-1-2}{4-1}\\&=\frac{-3}{1}\\&=-3\end{align*}$

Pisteiden $P$ ja $C$ välisen suoran kulmakerroin on

$\begin{align*}k_2&=\frac{3-2}{0-3}\\&=\frac{1}{-3}\\&=-\frac{1}{3}\end{align*}$

Suorien välinen kulma saadaan suuntakulman avulla:

$\begin{align*}\tan \alpha &=\left|\frac{k_1 - k_2}{1+k_1 k_2}\right|\\ \tan \alpha &=\left|\frac{ -^{\text{3)}} 3-(-\dfrac{1}{3})}{1+(-3) \cdot (-\dfrac{1}{3})}\right|\\ \tan \alpha &=\left|\frac{ -\dfrac{9}{3}+\dfrac{1}{3}}{1+(-3) \cdot (-\dfrac{1}{3})}\right|\\ \tan \alpha &=\left|\frac{-\dfrac{8}{3}}{1+1}\right|\\ \tan \alpha &=\dfrac{\dfrac{8}{3}}{2}\\ \tan \alpha &=\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\\ \tan \alpha &=\frac{4}{3}\\\alpha &= 53{,}13 \ldots^{\circ} \end{align*}$

Ratkaisuna saatiin suorien välinen terävä kulma. Kuvion perusteella kulma on tylppä, joten kaarta $ABC$ vastaava keskuskulma on

$180 \ldots^{\circ} - 53{,}13 \ldots^{\circ} =126,86 \ldots^{\circ} \approx 127 \ldots^{\circ}$ .

413. b)

Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta, joten kehäkulmaksi saadaan

$\dfrac{1}{2} \cdot 126,86 \ldots^{\circ} =63{,}43 \ldots^{\circ} \approx 63 \ldots^{\circ}$ .

417.

Piirretään GeoGebralla suora $y=2x$ . Ympyrä kulkee pisteiden $(1,6)$ ja $(4,3)$ kautta.

Ympyrän keskipiste, joka on suoralla $y=2x$ , on yhtä kaukana kummastakin annetusta kehän pisteestä.

Kehän pisteiden $(1, 6)$ ja $(4, 3)$ välisen janan keskinormaalin jokainen piste on
yhtä kaukana janan molemmista päätepisteistä. Ympyrän keskipiste on
janan keskinormaalin ja suoran $y = 2x$ leikkauspisteessä.

Piiroksen perusteella ympyrän keskipiste näyttäisi olevan pisteessä $(2,4)$ . Ympyrän säde sen perusteella (Pythagoraan lause) on

$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ .

417. b)

Koska ympyrän keskipiste on suoralla $y=2x$ , sen koordinaatit ovat (esimerkiksi merkittynä $a$ ) $(a,2a)$ . Kehän pisteiden $(1, 6)$ ja $(4, 3)$ etäisyys keskipisteestä $(a,2a)$ täytyy olla yhtä suuri.

Täten saadaan etäisyydelle yhtälö:

$\begin{align*}\sqrt{(1-a)^2+(6-2a)^2}&=\sqrt{(4-a)^2+(3-2a)^2}\\\sqrt{(1-2a+a^2)+(36-24a+4a^2}&=\sqrt{(16-8a+a^2)+(9-12a+4a^2}\\\sqrt{5a^2-26a+37}&=\sqrt{5a^2-20a+25}\ \parallel\ ()^2\\5a^2-26a+37&=5a^2-20a+25\\-26a+20a&=25-37\\-6a&=-12\ \parallel\ :(-6)\\a&=\frac{-12}{-6}\\a&=2\end{align*}$

Ratkaisuna saatiin $x$ -koordinaatiksi $2$ , joten $y=2 \cdot 2=4$ . Keskipiste on siten $(2,4)$ .

Ympyrän säde $r$ on keskipisteen $(2,4)$ etäisyys kumpaan tahansa annettuun kehän pisteeseen, vaikkapa pisteeseen $(4,3)$ :

$r=\sqrt{(4-2)^2+(3-4)^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ .

Ympyrän yhtälöksi saadaan keskipisteen $(x_0,y_0)=(2,4)$ ja säteen $r=\sqrt{5}$ avulla

$\begin{align*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\(x-2)^2+(y-4)^2&=(\sqrt{5})^2\\(x-2)^2+(y-4)^2&=5\end{align*}$

Lisäpistetehtävä 10.9.2020

Suoran $a$ yhtälö on $2x+4y=8$ .
a) Mikä on suoran $a$ kulmakerroin.
b) Mikä on suoraa $a$ vastan kohtisuorassa olevan suoran $b$ kulmakerroin?
c) Muodosta suoran $b$ yhtälö, kun se kulkee pisteen $(4,-1)$ kautta.
d) Piirrä kuva GeoGebralla ja tarkista vastaukset. Ota kuvakaappaukset.

Ratkaisu

a) Muutetaan suoran $a$ yhtälö ratkaistuun muotoon:

$\begin{align*}2x+4y&=8\\4y&=-2x+8\ \parallel\ :4\\y&=-\frac{2x}{4}+\frac{8}{4}\\y&=-\frac{1}{2}x+2\end{align*}$

Vastaus: Suoran $a$ kulmakerroin on $-\dfrac{1}{2}$ .

b) Koska suora $b$ on kohtisuorassa suoraa $a$ vastaan, niin niiden kulmakertoimien tulo on $-1$ .

Siten

$\begin{align*}-\frac{1}{2} \cdot k_2 &= -1\ \parallel\ :(-\frac{1}{2})\\k_2 &= \frac{-1}{-\frac{1}{2}}\\k_2 &=-1 \cdot (-\frac{2}{1})\\k_2 &=2\end{align*}$

Vastaus: Suoran $b$ kulmakerroin on $2$ .

c) Suoran, jonka kulmakerroin on $k = 2$ ja se kulkee pisteen $(x_0,y_0)=(4,-1)$ kautta, yhtälö muodostetaan kaavalla

$y-y_0 = k(x-x_0)$

Siten

$\begin{align*}y-(-1) &= 2(x-4)\\y+1 &=2x-8\\y&=2x-8-1\\y &=2x-9\end{align*}$

Vastaus: Suoran $b$ yhtälö on $y=2x-9$ .

d) Kuvat GeoGebralla.