3.4 (ti 7.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tuntitehtävät 370, 371, 372, 373, 374

370. a)

Molempien suorien kulmakerroin on 2, joten suorat ovat yhdensuuntaiset.

370. b)

Suorien kulmakertoimien tulo $k_1 \cdot k_2 = \dfrac{1}{3} \cdot (-3)=-1$ , joten suorat ovat kohdisuorassa.

370. c)

Suora $y-4=0$ on $x$ -akselin suuntainen suora ja suora $x-5$ on $y$ -akselin suuntainen, joten ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

371. a)

Merkitään suoran $a$ ja sen normaalin $n$ kulmakeroiminen tulo yhtäsuureksi kuin -1:

$\begin{align*}4 \cdot k_n &=-1\ \parallel:4\\k_n &=-\frac{1}{4}\end{align*}$

371. b)

$\begin{align*}-\dfrac{2}{3} \cdot k_n &=-1\ \parallel:\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\k_n &=-1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\\k_n&=\frac{3}{2}\end{align*}$

371. c)

Suoran $a$ suuntakulma on $90^{\circ}$ , joten se on $y$ -akselin suuntainen. Sen normaali on $x$ -akselin suuntainen, joten suoran $a$ normaalin kulmakerroin on nolla.

371. d)

Kulmakerroin $k_n=1\dfrac{4}{5}=\dfrac{9}{5}$ .

Kulmakertoimien tulon tulee olla $-1$ , joten

$\begin{align*}\dfrac{9}{5} \cdot k_n &=-1\ \parallel:\left(\dfrac{9}{5}\right)\\k_n &=-1 \cdot \left(\frac{5}{9}\right)\\k_n&=-\frac{5}{9}\end{align*}$

372. a)

Suoran $y=3x+1$ kulmakerroin on $3$ . Ratkaistaan kulmakerroin, kun suoran ja normaalinen kulmakertoimien tulo on $-1$ .

$\begin{align*}3 \cdot k_n &=-1\ \parallel:3 \\k_n&=-\frac{1}{3}\end{align*}$

Normaalin kulmakerroin $k=-\dfrac{1}{3}$ ja se kulkee pisteen $(3,4)$ kautta.

Normaalin yhtälö on:

$\begin{align*}y-4&=-\frac{1}{3}(x-3)\\y-4&=-\frac{1}{x}x-\frac{1}{3} \cdot (-3)\\y-4 &=-\frac{1}{3}x+1\\y&=-\frac{1}{3}x+5\end{align*}$

372. b)

Suora $x=2$ on $y$ -akselin suuntainen suora, joten sen normaali on $x$ -akselin suuntainen. Normaali kulkee pisteen $(3,4)$ kautta, joten normaalin yhtälö on $y=4$ .

372. c)

Suora $y-1=0$ on $x$ -akselin suuntainen suora, joten sen normaali on $y$ -akselin suuntainen, jolla ei siksi ole kulmakerrointa. Suora kulkee pisteen $(3,4)$ kautta, joten normaalin yhtälö on $x=3$ .

373. a)

Pisteen $(1,-6)$ etäisyys suorasta $3x+4y+6=0$ voidaan laskea kaavalla

$\frac{\left| a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Suoran yhtälöstä saadaan kertoimet $a=3$ , $b=4$ ja $c=6$ .

$\begin{align*}\frac{\left| 3 \cdot 1+ 4 \cdot (-6)+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}&= \frac{\left| 3-24+6|}{\sqrt{9+16}}\\&= \frac{\left| -15\right|}{\sqrt{25}} \\&= \frac{15}{5}\\&=3\end{align*}$

373. b)

Pisteen $(-2,5)$ etäisyys suorasta $3x+4y+6=0$ voidaan laskea kaavalla

$\frac{\left| a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Suoran yhtälöstä saadaan kertoimet $a=3$ , $b=4$ ja $c=6$ .

$\begin{align*}\frac{\left| 3 \cdot (-2)+ 4 \cdot 5+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}&= \frac{\left| -6+20+6|}{\sqrt{9+16}}\\&= \frac{\left| 20\right|}{\sqrt{25}} \\&= \frac{20}{5}\\&=4\end{align*}$

373. c)

Pisteen $(0,0)$ etäisyys suorasta $3x+4y+6=0$ voidaan laskea kaavalla

$\frac{\left| a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Suoran yhtälöstä saadaan kertoimet $a=3$ , $b=4$ ja $c=6$ .

$\begin{align*}\frac{\left| 3 \cdot 0+ 4 \cdot 0+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}&= \frac{\left| 0+0+6|}{\sqrt{9+16}}\\&= \frac{\left| 6\right|}{\sqrt{25}} \\&= \frac{6}{5}\end{align*}$

374.

Kirjoitetaan suoran yhtälö normaalimuodossa

$\begin{align*}y&=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\\y&=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\ \parallel \cdot 2\\2y&=-x+7\\x+2y-7&=0\end{align*}$

Pisteen $(-3,4)$ etäisyys suorasta $x+2y-7=0$ on

$\begin{align*}\frac{\left| 1 \cdot (-3)+ 2 \cdot 4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}&= \frac{\left|-3+8-7|}{\sqrt{5}}\\&= \frac{\left| -2\right|}{\sqrt{5}} \\&= ^{\sqrt{5}\text{)}}\frac{2}{\sqrt{5}}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{align*}$

Kotitehtävät 375, 377, 378, 385, 387

375. a)

Suora kulkee pisteen $(3, 1)$ kautta ja se on $x$ -akselin suuntainen, joten $y$ -koordinaatti on aina $1$ . Suoran yhtälö on $y = 1$ .

375. b)

Suora kulkee pisteen $(3, 1)$ kautta ja se on $y$ -akselin suuntainen, joten $x$ -koordinaatti on aina $3$ . Suoran yhtälö on $x = 3$ .

375. c)

Koska suoran suuntakulma $\alpha = -45^{\circ }$ , on suoran kulmakerroin

$\begin{align*}k&= \tan \alpha\\k &= \tan(-45^{\circ})\\ k&= -1\end{align*}$

Määritetään suoran yhtälö, kun $(x_0,y_0)=(3,1)$ ja kulmakerroin $k=-1$ . Suoran yhtälö saadaan lausekkeesta:

$\begin{align*}y-y_0&=k(x-x_0)\\y-1&=-1(x-3)\\y-1&=-x+3\\y&=-x+3+1\\y&=-x+4\end{align*}$

375. d)

Määritetään ensin suoran $2x+y=0$ kulmakerroin ratkaisemalla siitä $y$ .

$\begin{align*}2x+y&=0\\y&=-2x\end{align*}$

Kulmakerroin on siis $-2$ . Suoran, joka on sitä vastaan kohtisuorassa, kulmakerroin on $-2$ :n käänteisluvun vastaluku eli $k=\frac{1}{2}$ . Tällöin kulmakertoimien tulo on $-2 \cdot \frac{1}{2}=-1$ .

Huom! Jos $k_1=-2$ , kohtisuorassa olevan suoran kulmakertoimen $k_2$ voi toki ratkaista yhtälöstä

$\begin{align*}k_1k_2&=-1\ \parallel\ :k_1\\k_2&=-\frac{1}{k_1}\\k_2&=-\frac{1}{-2}\\k_2&=\frac{1}{2}\end{align*}$

Suoran yhtälö saadaan lausekkeesta:

$\begin{align*}y-y_0&=k(x-x_0)\\y-1&=\frac{1}{2}(x-3)\\y-1&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \cdot (-3)\\y-1&= \frac{1}{2} x- \frac{3}{2} \\y&= \frac{1}{2} x- \frac{3}{2}+1^{\text{(2}} \\ y&= \frac{1}{2} x- \frac{3}{2}+\frac{2}{2} \\ y&= \frac{1}{2} x- \frac{1}{2}\end{align*}$

377. a)

GeoGebralla on piirretty piste $(7,-1)$ , suora $x=2$ ja suora $y+4=0$ eli ratkaistussa muodossa $4y=-4$ .

Kuvasta mittaamalla pisteen $(7,-1)$ etäisyydeksi

suorasta $x=2$ saadaan $5$
suorasta $y=-4$ saadaan $3$ .

377. b)

Koska suora $x = 2$ on pystysuora, pisteen $(7, -1)$ ja suoran etäisyys on $x$ -koordinaattien erotus, eli $\left|7 - 2\right| = \left|5\right|=5$ .
Koska suora $y = -4$ on vaakasuora, pisteen etäisyys suorasta on $y$ -koordinaattien erotus, eli $\left|-1 - (-4)\right| =\left|-1+4\right|=\left|3\right|= 3$ .

378.

Kolmion $ABC$ ympäri piirretyn ympyrän keskipiste $P$ on janojen $AC$ ja $CB$
(sekä $AB$ ) keskinormaalien leikkauspiste.

Määritetään ensin janan $AC$ keskinormaali. Tätä varten tarvitaan

janan $AB$ keskipiste ja
janan $AC$ suuntaisen suoran kulmakerroin, jonka avulla määritetään
janan $AC$ keskinormaalin kulmakerroin ja sen yhtälö.

Janan $AB$ keskipiste on

$\left(\frac{2+4}{2},\frac{1+5}{2}\right)=\left(\frac{6}{2},\frac{6}{2}\right)=\left(3,3\right).$

Janan $AC$ suuntaisen suoran kulmakerroin on

$k=\frac{5-1}{4-2}=\frac{4}{2}=2.$

Siten keskinormaalin kulmakerroin on $k=-\frac{1}{2}$ .

Muodostetaan janan $AC$ keskinormaalin yhtälö lausekkeella

$\begin{align*}y-y_0 &=k(x-x_0)\\ y-3 &=-\frac{1}{2}(x-3)\\y-3&=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \cdot (-3)\\y&=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3^{\text{(2}}\\y&=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+\frac{6}{2}\\y&=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\\y&=-\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2} \end{align*}$

Määritetään samoin janan $BC$ keskinormaali. Tätä varten tarvitaan

janan $BC$ keskipiste ja
janan $BC$ suuntaisen suoran kulmakerroin, jonka avulla määritetään
janan $BC$ keskinormaalin kulmakerroin ja sen yhtälö.

Janan $BC$ keskipiste on

$\left(\frac{7+4}{2},\frac{2+5}{2}\right)=\left(\frac{11}{2},\frac{7}{2}\right).$

Janan $BC$ suuntaisen suoran kulmakerroin on

$k=\frac{5-2}{4-7}=\frac{3}{-3}=-1.$

Siten keskinormaalin kulmakerroin on $k=-(-1)=1$ .

Muodostetaan janan $BC$ keskinormaalin yhtälö lausekkeella

$\begin{align*}y-y_0 &=k(x-x_0)\\ y-\frac{7}{2} &= 1 \cdot(x- \frac{11}{2} )\\y- \frac{7}{2} &=x-\frac{11}{2} \\y&=x-\frac{11}{2}+ \frac{7}{2}\\y&=x+\frac{-11+7}{2}\\y&=x+\frac{-4}{2}\\y&=x-2 \end{align*}$

Lasketaan seuraavaksi keskinormaalien leikkauspiste, joka on kysytty ympyrän keskipiste $P$ .

Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä, koska molemmat suorat ovat ratkaistussa muodossa:

$\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2} \\y=x-2\end{cases}$

$\begin{align*}-\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2} &= x-2\\-\frac{1}{2}x -^{\text{2)}}x&=^{\text{2)}}-2- \frac{9}{2} \\-\frac{1}{2}x-\frac{2}{2}x&=-\frac{4}{2}-\frac{9}{2}\\-\frac{3}{2}x&=-\frac{13}{2}\ \parallel\ :(-\frac{3}{2})\\x&=-\frac{13}{2} \cdot (-\frac{2}{3})\\x&=\frac{13}{3}=4\frac{1}{3}\end{align*}$

Sijoitetaan $x=4\frac{1}{3}$ suoran $y=x-2$ yhtälöön, jolloin saadaan
$y= 4\frac{1}{3} -2=2\frac{1}{3}$ .

Vastaus: Piste $P=\left( 4\dfrac{1}{3}, 2\dfrac{1}{3}\right)$

385.

Suorat ovat $3x-4y=0$ ja $5x+12=0$ .

Piirretään kuva GeoGebralla.

Piste $P=(x,y)$ on kulman puolittajalla, jos se on yhtä kaukana kulman kyljistä.

Lasketaan pisteen $P=(x,y)$ etäisyys

suorasta $3x - 4y = 0$ ja
suorasta $5x+12y=0$

Suoran normaalimuotoisen yhtälön yleinen lauseke on

$ax+by+c=0$

Pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyys suorasta lasketaan lausekkeella

$\frac{\left| a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Kun tiedetään pisteen $(x,y)$ -koordinaatit, niin ne sijoitetaan tavallisesti $(x_0,y_0)$ :n paikalle, mutta nyt selvitetään, mikä on piste $(x,y)$ .

Lasketaan pisteen $P=(x,y)$ etäisyys suorasta $3x - 4y = 0$ . Tällöin

$\begin{cases}a=3\\b=-4\\c=0\end{cases}$

$\begin{align*}\frac{\left| 3 \cdot x+ (-4) \cdot y+0\right|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}&= \frac{\left| 3 x -4y\right|}{\sqrt{9+16}}\\&= \frac{\left| 3 x -4y\right|}{\sqrt{25}} \\&= \frac{\left| 3 x -4y\right|}{5} \end{align*}$

Lasketaan pisteen $P=(x,y)$ etäisyys suorasta $5x+ 12 y = 0$ . Tällöin

$\begin{cases}a=5\\b=12\\c=0\end{cases}$

$\begin{align*}\frac{\left| 5 \cdot x+ 12 \cdot y+0\right|}{\sqrt{5^2+12^2}}&= \frac{\left| 5 x +12y\right|}{\sqrt{25+144}}\\&= \frac{\left| 5 x +12y\right|}{\sqrt{169}} \\&= \frac{\left| 5 x +12y\right|}{13} \end{align*}$

Koske pisteen $P$ etäisyyden molemmista suorista pitää olla sama, saadaan yhtälö

$\frac{\left| 3 x -4y\right|}{5} = \frac{\left| 5 x +12y\right|}{13} .$

Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja $y$ .

$\begin{align*}\frac{\left| 3 x -4y\right|}{5} &= \frac{\left| 5 x +12y\right|}{13}\ \parallel\ \cdot 5 \cdot 13 \\13 \left| 3 x -4y\right| &=5 \left| 5 x +12y\right| \\ \left| 39 x -52y\right| &=\left| 25 x +60y\right| \\ 39 x -52y &=25 x +60y \\-52y-60y&=25x-39x\\-112y&=-14x\ \parallel\ \:(-112)\\y&=\frac{-14}{-112}x^{\text{(14}}\\y&=\frac{1}{8}x\end{align*}$

tai

$\begin{align*} 39 x -52y &=-(25 x +60y) \\ 39 x -52y &=-25 x -60y \\ -52y+60y&=-25x-39x\\8y&=-64x\ \parallel\ \:8\\y&=\frac{-64}{8}x\\y&=-8x\end{align*}$

Suoran $3x-4y=0$ kulmakerroin saadaan, kun ratkaistaan $y=\dfrac{3}{4}x$ . Samoin saadaan suoran $5x+12y=0$ kulmakerroin $y=-\dfrac{5}{12}x$ .

Koska kulmanpuolittaja on suorien $3x-4y=0$ ja $5x+12y=0$ välissä, sen kulmakertoimen tulee olla välillä $\left]-\dfrac{5}{12},\dfrac{3}{4}\right[$ .

Tämän perusteella valitaan se kulmanpuolittaja, jonka kulmakerroin on $\dfrac{1}{8}$ .

Vastaus: Suora on $y=\dfrac{1}{8}x$ .

387. a)

Kysytyn pistejoukon muodostavat kaksi suoran $2x-y=0$ kanssa yhdensuuntaista suoraa. Piirretään GeoGebralla suora $2x-y=0$ sekä siitä etäisyydellä $5$ olevat yhdensuuntaiset suorat.

387. b)

Merkitään pistejoukon pistettä $(x,y)$ . Sen etäisyys suorasta $2x-y=0$ on viisi. Saadaan yhtälö

$\begin{align*}\frac{\left| 2x-y \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}&=5\\ \frac{\left| 2x-y \right|}{\sqrt{4+1}}&=5\\ \frac{\left| 2x-y \right|}{\sqrt{5}}&=5\ \parallel\ \cdot \sqrt{5}\\ \left| 2x-y \right| &=5 \sqrt{5}\end{align*}$

Tästä voidaan ratkaista

$\begin{align*} 2x-y &=5 \sqrt{5}\\-y&=-2x+ 5\sqrt{5}\ \parallel\ \cdot(-1)\\y&=2x-5 \sqrt{5} \end{align*}$

tai

$\begin{align*} 2x-y &=-5 \sqrt{5}\\-y&=-2x- 5\sqrt{5}\ \parallel\ \cdot(-1)\\y&=2x+5 \sqrt{5} \end{align*}$