3.3 (to 2.9.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tuntimuistiinpanojen ratkaisut

Tuntitehtävien 350, 353, 354, 358 ratkaisut

350.

Määritetään suorien leikkauspiste ratkaisemalla suorista muodostettava yhtälöpari yhteenlaskumenetelmällä:

$\begin{cases}2x+3y&=7\\3x-2y&=4\end{cases}$

$\begin{cases}2x+3y&=7\ \parallel\ \cdot 2\\3x-2y&=4\ \parallel\ \cdot 3\end{cases}$

$+\begin{cases}4x+6y&=14\\9x-6y&=12\end{cases}$

$\begin{align*}4x+9x&=14+12\\13x&=26\ \parallel :13\\x&=\frac{26}{13}\\x&=2\end{align*}$

Sijoitetaan jompaan kumpaan suoran yhtälöön saatu $x=2$ . Käytetään suoran yhtälöä $2x+3y=7$ .

$\begin{align*}2 \cdot 2 + 3y&=7\\4+3y&=7\\3y&=7-4\\3y&=3\ \parallel\ :3\\y&=\frac{3}{3}\\y&=1\end{align*}$

Suorien leikkauspiste on $(2,1)$ .

Piirretään suorat GeoGebralla.

353.

Suorat ovat $x-y-1=0$ ja $2x+3y-12=0$ .

Piirretään suorat GeoGebralla.

Tällaisessa tehtävässä ei voi katsoa kolmion kärkipisteitä eli suorien leikkauspistettä ja suorien sekä koordinaattiakseleiden leikkauspisteitä kuvasta, vaan ne pitää laskea.

Suorien leikkauspiste:

Ratkaistaan leikkauspiste yhtälöparista

$\begin{cases}x-y-1=0\ \parallel\ \cdot 3\\2x+3y-12=0\end{cases}$

$\begin{cases}3x-3y-3=0\\2x+3y-12=0\end{cases}$

$+\begin{cases}3x-3y=3\\2x+3y=12\end{cases}$

$\begin{align*}3x+2x&=3+12\\5x&=15\ \parallel\ :5\\x&=\frac{15}{3}\\x&=3\end{align*}$

Sijoitetaan $x=3$ yhtälöön $x-y-1=0$ ja ratkaistaan $y$ :

$\begin{align*}x-y-1&=0\\3-y-1&=0\\-y&=-2\ \parallel\ :(-1)\\y&=2\end{align*}$

Suorien leikkauspiste on siis $(3,2)$ .

Suorien ja $x$ -akselin leikkauspisteet

Kolmion kaksi muuta kärkipistettä ovat $x$ -akselilla.

Suoran $x-y-1=0$ ja $x$ -akselin leikkauspiste saadaan, kun $y=0$ :

$\begin{align*}x-y-1&=0\\x-0-1&=0\\x&=1\end{align*}$

Leikkauspiste on $(1,0)$ .

Suoran $2x+3y-12=0$ ja $x$ -akselin leikkauspiste saadaan, kun $y=0$ :

$\begin{align*}2x+3y-12&=0\\2x+ 3 \cdot 0-12&=0\\2x&=12\ \parallel\ :12\\x&=\frac{12}{2}\\x&=6\end{align*}$

Leikkauspiste on $(6,0)$ .

Kolmion kanta on pisteiden $(1, 0)$ ja $(6, 0)$ etäisyys, eli $\left|6 - 1\right| = 5$ .
Kolmion korkeus $h$ saadaan suorien leikkauspisteen $y$ -koordinaatista,
joka on $2$ .

Kolmion pinta-ala on

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$

Vastaus: Kolmion pinta-ala on $5$ .

354. a)

Piirretään GeoGebralla suorat $y=\frac{1}{3}$ ja $y=3x$ .

Suorien välisen kulman suuruus on $53{,}1^{\circ}$ .

354. b)

Suorien välilen kulma voidaan laskea kaavalla

$\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$

Sijoitetaan kaavaan $k_1=3$ ja $k_2=\dfrac{1}{3}$

$\begin{align*}\tan \alpha &=\left|\frac{3-\dfrac{1}{3}}{1+3 \cdot \dfrac{1}{3}}\right| \\ \tan \alpha &=\left|\frac{^{\text{3)}} 3-\dfrac{1}{3}}{1+1}\right| \\ \tan \alpha &=\left|\frac{\dfrac{9}{3}-\dfrac{1}{3}}{2}\right| \\\tan \alpha &=\left|\frac{\dfrac{8}{3}}{2}\right|\\\tan \alpha&=\left|\frac{4}{3}\right|\\ \tan \alpha&=\frac{4}{3}\\ \alpha &=53{,}13\ldots^{\circ} \approx 53{,}1^{\circ}\end{align*}$

Vastaus: Suorien välinen kulma on $53{,}1^{\circ}$ .

358. a)

Selvitetään ensin suorien $2x+3y-1=0$ ja $7x+2y-8=0$ kulmakertoimet suorien yhtälöiden ratkaistuista muodoista.

$\begin{align*} 2x+3y-1&=0 \\3y&=-2x+1\ \parallel\ :3\\y&=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\end{align*}$

$\begin{align*} 7x+2y-8&=0 \\2y&=-7x+8\ \parallel\ :2\\y&=-\frac{7}{2}x+\frac{8}{2}\\y&= -\frac{7}{2}x +4\end{align*}$

Sijoitetaan suorien kulmakertoimet $k_1= -\dfrac{2}{3}$ ja $k_2=-\dfrac{7}{2}$ lausekkeeseen

$\begin{align*}\tan \alpha&=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1 k_2}\right|\\\tan \alpha &=\left| \frac{ -\dfrac{2}{3} -\left( -\dfrac{7}{2}\right) }{1+ \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left( -\dfrac{7}{2} \right)}\right|\\ \tan \alpha &=\left| \frac{^{\text{2)}} -\dfrac{2}{3} +^{\text{3)}}\dfrac{7}{2}}{1+ \dfrac{7}{3}}\right|\\\tan \alpha&=\frac{17}{20}\\\alpha&=40{,}36 \ldots^{\circ}\\\alpha &\approx 40{,}4^{\circ}\end{align*}$

358. b)

Suora $x = 3$ on pystysuora, joten kysytty kulma saadaan laskettua
suoran kulman ja suoran $y-2x = 0$ suuntakulman erotuksena.
Suoran $y-2x = 0$ , eli suoran $y = 2x$ kulmakerroin on $2$ .

$\begin{align*}\tan \alpha &=2\\\alpha &=63{,}43 \ldots^{\circ}\end{align*}$

Siten suorien $x=3$ ja $y-2x=0$ välinen kulma on
$90^{\circ}- 63{,}43 \ldots^{\circ} =26{,}56 \ldots^{\circ} \approx 26{,}6^{\circ}$ .

Kotitehtävien 351, 355, 361, 367 ratkaisut

351.

A Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä siten, että sijoitetaan alemmasta yhtälöstä ratkaistu $y$ :n lauseke ylempään yhtälöön $y$ :n paikalle.

$\begin{cases}2x-3y=2\\y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\\\end{cases}$

$\begin{align*}2x-3 \left( \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right) &=2\\2x- 3 \cdot \frac{2}{3}x -3 \cdot \frac{1}{3}&=2\\2x-2x -1&=2\\-1&=2\end{align*}$

Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, mikä tarkoittaa sitä, että suorat ovat yhdensuuntaiset.
Kuva III liittyy tähän.

B Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä.

$\begin{cases}x+3y=7\\y=x-1\\\end{cases}$

$\begin{align*}x+3 \left(x-1\right)&=7\\x+3x-3&=7\\4x&=7+3\\4x&=10\ \parallel\ :4\\x&=\frac{10}{4}^{\text{(2}}\\x&=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\end{align*}$

Sijoitetaan saatu $x$ :n arvo yhtälöön $y=x-1$ , jolloin
$y= 2\dfrac{1}{2} -1= 1\dfrac{1}{2}$

Yhtälöparin ratkaisu on $\left( 2\dfrac{1}{2} , 1\dfrac{1}{2} \right)$ .
Kuva I liittyy tähän.

C Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä.

$\begin{cases}y=-2x+5\\2x+y=5\end{cases}$

$\begin{align*}2x+(-2x+5)&=5\\2x-2x+5&=5\\0&=5-5\\0&=0\end{align*}$

Tämä tarkoittaa sitä, että yhtälöpari toteutuu kaikilla muuttujan $x$ arvoilla. Siis ratkaisuna ovat kaikki suoran $y=-2x+5$ pisteet. Yhtälöparin suorat ovat siis sama suora.
Kuva II liittyy tähän.

Huom! Jos muokataan yhtälöparin ylempää yhtälöä muotoo $2x+y=5$ , huomataan, että kyseessä ovat samat yhtälöt.

$\begin{cases}2x+y=5\\2x+y=5\end{cases}$

355.

Ratkaistaan suorien leikkauspisten yhtälöparilla.

$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1\ \parallel\ \cdot 6\\3x-2y+3=0\end{cases}$

$\begin{cases}6 \cdot \dfrac{x}{3}+6 \cdot \dfrac{y}{2}=6 \cdot 1\\3x-2y=-3\end{cases}$

$\begin{cases}2x+3y=6\ \parallel\ \cdot 3\\3x-2y=-3\ \parallel\ \cdot (-2)\end{cases}$

$+\begin{cases}6x+9y=18\ \parallel\\-6x+4y=6\end{cases}$

$\begin{align*}9y+4y&=18+6\\13y&=24\ \parallel\ :13\\y&=\frac{24}{13}\end{align*}$

Ratkaistaan $x$ sijoittamalla $y&=\dfrac{24}{13}$ yhtälöön $3x-2y+3=0$ .

$\begin{align*}3x-2 \cdot \frac{24}{13} +3&=0\\3x- \frac{48}{13}&=-3\\3x&= \frac{48}{13} - ^{\text{13)}} 3\\3x&= \frac{48}{13} - \frac{39}{13} \\3x&= \frac{9}{13}\ \parallel\ :3\\x&= \frac{9}{13 \cdot 3} \\x&= \frac{3}{13}\end{align*}$