3.1 ja 3.2 (ti 31.8.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Linkki tuntimuistiinpanoihin

Tehtävien ratkaisut

Tuntitehtävät

Luku 3.1 Suoran suunta: 301, 303a, 305, 309, 313.
Luku 3.2 Suoran yhtälö: 321, 326, 327a, 330, 331, 332, 340.

301

Suora $a$ , pisteet $(2,-1)$ ja $(4,3)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{3-(-1)}{4-2}=\dfrac{4}{2}=2$

Suora $b$ , pisteet $(1,3)$ ja $(10,0)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{0-3}{10-1}=\dfrac{-3}{9}=-\dfrac{1}{3}$

Suora $c$ , pisteet $(8,4)$ ja $(10,-2)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{-2-4}{10-8}=\dfrac{-6}{2}=-3$

303. a)

Suora kulkee pisteen $(3,2)$ kautta ja kulmakerroin on $2$ . Kun $x$ -koordinaatti muuttuu oikealle yhden yksikön verran, $y$ -koordinaatti muuttuu ylös kahden yksikön verran.

Siten toinen $x$ -koordinaatti on esimerkiksi $3+1=4$ ja $y$ -koordinaatti on esimerkiksi $2+2=4$ eli koordinaatitksi tulee $(4,4)$ .

303. b)

Suora kulkee pisteen $(0,2)$ kautta ja kulmakerroin on $\dfrac{3}{4}$ . Kun $x$ -koordinaatti muuttuu oikealle neljän yksikön verran, $y$ -koordinaatti muuttuu ylös kolmen yksikön verran.

Siten toinen $x$ -koordinaatti on esimerkiksi $0+4=4$ ja $y$ -koordinaatti on esimerkiksi $2+3=4$ eli koordinaatitksi tulee $(4,5)$ .

303. b)

Suora kulkee pisteen $(5,0)$ kautta ja kulmakerroin on $-\dfrac{2}{3}$ . Kun $x$ -koordinaatti muuttuu oikealle kolmen yksikön verran, $y$ -koordinaatti muuttuu alas kahden yksikön verran.

Siten toinen $x$ -koordinaatti on esimerkiksi $5+3=8$ ja $y$ -koordinaatti on esimerkiksi $0-2=-2$ eli koordinaatitksi tulee $(8,-2)$ .

305. a)

Suoran kulmakerroin on $-3$ . Siten $\tan \alpha =-3$ .

Suoran suuntakulma on

$\alpha = \arctan(-5)=-71{,}56 \ldots^{\circ} \approx -71{,}6 \ldots^{\circ}$

Huom! Voit kirjoittaa jatkossa suoraan seuraavasti:

$\begin{align*}\tan \alpha &= -5\\\alpha &= -71{,}56 \ldots^{\circ} \approx -71{,}6 \ldots^{\circ} \end{align*}$

305. b)

Lasketaan ensin suoran kulmakerroin. Pisteet ovat $(0,1)$ ja $(4,2)$ .

$k=\dfrac{2-1}{4-0}=\dfrac{1}{4}$

$\begin{align*}\tan \alpha &= \dfrac{1}{4}\\\alpha &=14{,}03 \ldots^{\circ} \approx 14{,0}^{\circ}\end{align*}$

305. c)

Suora kulkee pisteiden $(3, 1)$ ja $(3, 5)$ kautta. Suoran pisteillä on sama $x$ -koordinaatti. Suora on siten pystysuora. Sen suuntakulma on $90{,}0^{\circ}$ .

305. d)

Suoran eräs suuntavektori $2 \overline{i}$ tarkoittaa sitä, että suora on $x$ -akselin suuntainen eli se on vaakasuora. Suuntakulma on $0{,}0^{\circ}$ .

309. a)

Suora leikkaa $x$ -akselin pisteessä $(-3,0)$ ja on $y$ -akselin suuntainen tarkoittaa pystysuoraa suoraa.

Tällainen suuntavektori on esimerkiksi $\overline{j}$ tai $3 \overline{j}$ .

309. b)

Suoran suuntavektori voidaan määrittää laskemalla pisteiden $(3,1)$ ja $(8,-2)$ $x$ -, ja $y$ -koordinaattien erotukset:

$\left(8-3\right) \overline{i} + \left(-2-1 \right) \overline{j}=5 \overline{i} - 3 \overline{j}$

309. c)

Kun kulmakerroin on $0$ , suora on $x$ -akselin suuntainen. Suoran eräs suuntavektori on $3 \overline{i}$ .

313. a)

Kulmakerroin $k=\tan (-50^{\circ})=-1{,}19 \ldots \approx -1{,2}$ .

313. b)

Kulmakerroin $k=\tan (-30^{\circ})=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .

Yleensä vastaukseen ei jätetä neliöjuurta nimittäjään. Lavennetaan $\sqrt{3}$ :lla.

$k=\ ^{ \sqrt{3} \text{)}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}} =-\dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

314. a)

321. a)

$k=2$ , piste $(x_0,y_0)=(4,3)$

Sijoitetaan suoran yhtälön lausekkeeseen, jolloin

$\begin{align*}y-y_0 &= k(x-x_0)\\y-3&=2(x-4)\\y-3&=2x-2 \cdot 4\\y-3&=2x-8\\y&=2x-8+3\\y&=2x-5\end{align*}$

Piste on suoralla, jos se toteuttaa suoran yhtälön. Sijoitetaan suoran yhtälöön $y = 2x - 5$ pisteen koordinaatit.

Piste $(100, 196)$ :

$\begin{align*}196&=2 \cdot 100 -5\\196&=200-5\\196&=195\end{align*}$

Piste ei toteuta yhtälöä, joten se ei ole suoralla.

Piste $(-9, -23)$ :

$\begin{align*}-23&=2 \cdot (-9) -5\\-23&=-18-5\\-23&=-23\end{align*}$

Piste toteuttaa yhtälön, joten se on suoralla.

326. a)

Ratkaistaan normaalimuodossa olevista yhtälöistä muuttuja $y$ .

$\begin{align*}6x-2y+4&=0\\-2y&=-6x-4\ \parallel\ :(-2)\\y&=\frac{-6x}{-2}-\frac{4}{-2}\\y&=3x+2\end{align*}$

$\begin{align*}4x-6y-8&=0\\-6y&=-4x+8\ \parallel\ :(-6)\\y&=\frac{-4x}{-6}+\frac{8}{-6}\\y&=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}\end{align*}$

Ensimmäisen suoran kulmakerroin on $3$ ja toisen suoran kulmakerroin on $\dfrac{2}{3}$ . Koska kulmakertoimien arvot eivät ole yhtäsuuret, suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

326. b)

Siirretään kaikki termit samalle puolelle yhtälöä ja lavennetaan tarvittaessa murtolukukertoimet kokonaisluvuiksi.

$\begin{align*}y&=\frac{1}{2}x+\frac{4}{5}\ \parallel\ \cdot 10\\10y&=10 \cdot \frac{1}{2}x + 10 \cdot\frac{4}{5}\\10y&=5x+8\\-5x+10y-8&=0\ \parallel\ \cdot (-1)\\5x-10y+8&=0\end{align*}$

327. a)

Ratkaistaan normaalimuotoisesta yhtälöstä $y$ :

$\begin{align*}2x+y-3&=0\\y&=-2x+3\end{align*}$

Suoran kulmakerroin on $-2$ . Suora leikkaa $y$ -akselin pisteessä $3$ .

330. a)

Suuntakulman selvittämiseksi ratkaistaan yhtälön normaalimuodosta $y$ :

$\begin{align*}2x+5y-10&=0\\5y&=-2x+10\ \parallel\ :5\\y&=-\frac{2}{5}x+ \frac{10}{5}\\y&=-\frac{2}{5}x+2\end{align*}$

Kulmakerroin on $k= -\dfrac{2}{5}$

Suuntakulma $\alpha$ määritetään kulmakertoimen avulla

$\begin{align*}\tan \alpha&=k\\\tan \alpha&=-\frac{2}{5}\\\alpha &= \tan^{-1}\left( -\frac{2}{5} \right)\\\alpha&=-21{,}80 \ldots^{\circ} \approx -21{,}8^{\circ}\end{align*}$

330. b)

Kirjoitetaan oleva yhtälö ratkaistuun muotoon:

$\begin{align*}x-3y&=12\\-3y&=-x+12\ \parallel\ :(-3)\\y&=\frac{-x}{-3}+\frac{12}{-3}\\y&=\frac{1}{3}x-4\end{align*}$

Suoran kulmakerroin $k= \dfrac{1}{3}$ .

Suuntakulma $\alpha$ on

$\begin{align*}\tan \alpha&=k\\\tan \alpha&=\frac{1}{3}\\\alpha &= \tan^{-1}\left( \frac{1}{3} \right)\\\alpha&=18{,}43 \ldots^{\circ} \end{align*}$

Suora leikkaa $y$ -akselin kuvaan merkityssä kulmassa $\beta$ . Koska suuntakulma tarkoittaa suoran ja $x$ -akselin välistä kulmaa, ja koska koordinaattiakseleiden välillä on suorakulma eli $90^{\circ}$ , saadaan kysyksi kulmaksi

$\beta = 90^{\circ} - 18{,}43 \ldots^{\circ} =71{,}56 \ldots^{\circ} \approx 71{,}56^{\circ}$

331. a)

Lasketaan suoran $11x+3y+6=0$ ja $y$ -akselin leikkauspiste. Siinä $x$ -koordinaatti on $0$ . Sijoitetaan $x$ :n paikalle $0$ ja ratkaistaan $y$ :

$\begin{align*}11 \cdot 0 +3y+6&=0\\3y&=-6\ \parallel\ :3\\y&=-\frac{6}{3}=-2\end{align*}$

Suora $a$ leikkaa $y$ -akselin pisteessä $(0,-2)$ .

Koska suora $a$ on yhdensuuntainen suoran $3x-y+1=0$ kanssa, niillä on yhtä suuri kulmakerroin. Ratkaistaan suoran $3x-y+1=0$ kulmakerroin:

$\begin{align*} 3x-y+1&=0 \\-y&=-3x-1\ \parallel\ :(-1)\\y&=3x+1\end{align*}$

Suoran $a$ kulmakerroin on siis $3$ ja suora kulkee pisteen $(0,-2)$ kautta. Määritetään suoran yhtälö:

$y=3x-2$

Huom! Suoran yhtälön voi määrittää myös sijoittamalla kulmakertoimen arvon ja pisteen $(0,-2)$ koordinaatit suoran yhtälön lausekkeeseen

$y-y_0=k(x-x_0)$

$\begin{align*} y-y_0&=k(x-x_0) \\y-(-2)&=3(x-0)\\y+2&=3x\\y&=3x-2\end{align*}$

Vastaus: Suoran yhtälö on $y=3x-2$ .

331. b)

Kun suora leikkaa $x$ -akselin, $y$ -koordinaatti on $0$ .

$\begin{align*}y&=3x-2\\0&=3x-2\\3x&=2\ \parallel\ :3\\x&=\frac{2}{3}\end{align*}$

Vastaus: Suora leikkaa $x$ -akselin pisteessä $\left(\dfrac{2}{3},0\right)$ .

331. c)

Suora kulkee pisteen $(1, 1)$ kautta, jos piste toteuttaa suoran yhtälön.

$\begin{align*}y&=3x-2\\1&=3 \cdot 1 -2\\1&=3-2\\1&=1\end{align*}$

Piste toteuttaa suoran yhtälön, joten se on suoralla.

Kotitehtävät

Luku 3.1 Suoran suunta: 302, 314, 319.
Luku 3.2 Suoran yhtälö: 322, 327bcd, 332, 340.

302. a)

$k=\dfrac{9-5}{1-(-3)}=\dfrac{4}{4}=1$

302. b)

$k=\dfrac{7-7}{-3-13}=\dfrac{0}{-16}=0$

302. c)

$k=\dfrac{13-9}{8-8}=\dfrac{4}{0}$

Koska nimittäjä on $0$ , suoralla ei ole kulmakerrointa.

312.

Suora kulkee pisteiden $(-4, 3)$ ja $(4, -2)$ kautta, joten sen kulmakerroin on

$k=\dfrac{-2-3}{4-(-4)}=\dfrac{-5}{8}=-\dfrac{5}{8}$

Jos jokin piste $A=(44,-37)$ , $B=(-40,26)$ tai $C=(100,-62)$ on suoralla, täytyy pisteestä $(-4,3)$ pisteisiin $A$ , $B$ ja $C$ kulkevien suorien kulmakertoimien olla samoin $\dfrac{-5}{8}$ . Lasketaan kulmakertoimet.

Pisteet $(-4,3)$ ja $A=(44,-37)$

$k_A=\dfrac{-37-3}{44-(-4)}=\dfrac{-40}{48}^{\text{(8}}=-\dfrac{5}{6}$

Koska $-\dfrac{5}{6} \neq -\dfrac{5}{8}$ , piste $A$ ei ole suoralla.

Pisteet $(-4,3)$ ja $B=(-40,26)$

$k_B=\dfrac{26-3}{-40-(-4)}=\dfrac{23}{-36}=-\dfrac{23}{-36}$

Koska $-\dfrac{23}{36} \neq -\dfrac{5}{8}$ , piste $A$ ei ole suoralla.

Pisteet $(-4,3)$ ja $C= (100,-62)$

$k_C=\dfrac{-62-3}{100-(-4)}=\dfrac{-65}{104} ^{\text{(13}} =-\dfrac{5}{8}$

Koska $-\dfrac{5}{8} = -\dfrac{5}{8}$ , piste $C$ on suoralla.

314. a)

Suuntavektorin $-\overline{i}+2\overline{j}$ suuntaisen suoran kulmakerroin

$k=\frac{2}{-1}=-2 \neq 2$ . Suorat eivät ole yhdensuuntaiset.

314. b)

Kulmakerroin $k=\tan (-45)^{\circ}=-1$ . Suorat ovat yhdensuuntaiset.

314. c)

Suuntavektorin $3\overline{i}+2 \overline{j}$ suuntaisen suoran kulmakerroin

$k=\dfrac{2}{3}$

ja suoran $b$ kulmakerroin

$k=\dfrac{9-5}{4-(-2)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

Suorat ovat yhdensuuntaiset.

319. a)

Piste $P$ on funktion $f(x)=-x^3+2x^2$ kuvaajalla, joten pisteen $P$ $y$ -koordinaatti on $y=f(x)=-x^3+2x^2$ .

Piste $P$ on siten $\left(x,-x^3+2x^2\right)$ .

Origon $(0,0)$ ja pisteen $P$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

$k=\frac{-x^3+2x^2-0}{x-0}=\frac{-x^3}{x}+\frac{2x^2}{x}=-x^2+2x$

Tämän kulmakertoimen tulee olla $3$ . Saadaan siis yhtälö, josta ratkaistaan $x$ .

$\begin{align*}-x^2+2x&=-3\\-x^2+2x+3&=0\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot (-1) \cdot (-3)}}{2 \cdot (-1)}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{-2}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2}\\x&=\frac{-2 \pm4}{-2}\end{align*}$

Saadaan

$\begin{align*}x&=\frac{-2-4}{-2}\\x&=\frac{-6}{-2}\\x&=3\end{align*}$

tai

$\begin{align*}x&=\frac{-2+4}{-2}\\x&=\frac{2}{-2}\\x&=-1\end{align*}$

Lasketaan $y=f(x)$ :n arvot:

Kun $x=-1$ , $y=f(-1)=-(-1)^3+2 \cdot (-1)^2=1+2=3$ .

Kun $x=3$ , $y=f(3)=-3^3+2 \cdot 3^2=-27+ 2 \cdot 9=-27+18=-9$ .

Vastaus: Kulmakerroin on $-3$ , kun piste $P=(-1,3)$ tai $P=(3,-9)$ .

319. b)

Kulmakerroin on positiivinen, kun $k = −x^2 + 2x > 0$ .
Lausekkeen $−x^2 + 2x$ kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Ratkaistaan nollakohdat.

$\begin{align*}-x^2+2x&=0\\x(-x+2)&=0\\x&=0\ \text{tai}\ x=2\end{align*}$

Lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeneva paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa.

Arvot ovat positiivisia eli $-x^2+2x>0$ , kun $0<x<2$ .

319. c)

Kulmakertoimen lauseke $k = −x^2 + 2x$ saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa, joka on nollakohtien puolivälissä, kohdassa $x = 1$ .

Tällöin $y$ -koordinaatti on $y=f(1)=-1^3+2 \cdot 1^2 =-1+2=1$ .

Piste $P=(1,1)$ .

322. a)

Suora kulkee pisteen $(5,7)$ kautta.

Koska suora on $x$ -akselin suuntainen, sen kulmakerroin $k$ on nolla.
Suoran yhtälö $y = 7$ .

Tämän voi myös kirjoittaa suoran yhtälön lausekkeella:

$\begin{align*}y-y_0&=k(x-x_0)\\ y-7&=0 \cdot(x-5)\\y-7&=0\\y&=7\end{align*}$

322. b)

Koska suora on $y$ -akselin suuntainen, sillä ei ole kulmakerrointa.
Suoran yhtälö on siten $x = 5$ .

327. b)

Suoran yhtälö normaalimuodossa on $3x-2y-2=0$ .
Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistussa muodossa.

$\begin{align*} 3x-2y-2&=0 \\-2y&=-3x+2\ \parallel\ :(-2)\\y&=\frac{-3x}{-2}+\frac{2}{-2}\\y&=\frac{3}{2}x-1\end{align*}$

Tästä muodosta nähdään, että suoran kulmakerroin on $\dfrac{3}{2}$ . Suoran ja $y$ -akselin leikkauspiste on kohdassa $y=-1$ .

327. c)

Suora on pystysuora $x=1$ .

327. d)

Suora $y+3=0$ on ratkaistussa muodossa $y=-3$ . Suora on vaakasuora ja leikkaa $y$ -akselin kohdassa $-3$ .

332. a)

Saadaan yhtälö $x-y=1$ , joka ratkaistussa muodossa on $y=x-1$ .

Tämän suoran kulmakerroin on $1$ , ja se leikkaa $y$ -akselin pisteessä $(0,-1)$ .

332. b)

Suoran yhtälö on $x=\dfrac{1}{2}y$

Ratkaistaan $y$ :

$\begin{align*} x&=\dfrac{1}{2}y \ \parallel\ \cdot 2\\2x&=y\\y&=2x\end{align*}$

Tämän suoran kulmakerroin on $2$ , ja se leikkaa $y$ -akselin origossa.

332. c)

Suoran yhtälö on $\dfrac{x+y}{2}=3$ . Ratkaistaan $y$ .

$\begin{align*} \frac{x+y}{2}&=3\ \parallel\ \cdot 2 \\x+y&=6\\y&=-x+6\end{align*}$

Tämän suoran kulmakerroin on $-1$ , ja se leikkaa $y$ -akselin pisteessä $(0,6)$ .

340. a)

Suora $y=\dfrac{1}{2}x+b$ leikkaa $y$ -akselin pisteessä $\left(0,b\right)$ .

Ratkaistaan $x$ -akselin leikkauskohta. $x$ -akselilla $y=0$ .

$\begin{align*}0&=\frac{1}{2}x+b\\\frac{1}{2}x&=-b\ \parallel\ :\frac{1}{2}\ \text{tai} \cdot 2\\x&=-2b\end{align*}$

Suora leikkaa $x$ -akselin pisteessä $\left(-2b,0\right)$ .

340. b)

Suoran $y=\dfrac{1}{2}x+b$ kulmakerroin on $\frac{1}{2}$ . Leikkauspisteen koordinaatit voivat olla positiivisia tai negatiivisia.

Hahmotellaan kuva.

Jos vakio $b$ on positiivinen, ylempi suoran on kyseessä. Jos $b$ on negatiivinen, kyseessä on alempi suora.

Suoran ja $y$ -akselin leikkauspisteen etäisyys origosta on $\left|b\right|$ .

Suoran ja $x$ -akselin leikkauspisteen etäisyys origosta on $\left |-2 b\right|=2\left|b\right|$ .

Suoran ja koordinaattiakseleiden rajaaman kolmion pinta-ala on 18. Muodostetaan pinta-alan lauseke seuraavasti:

$\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot 2\left|b\right| \cdot \left|b\right| &=18\\\left|b\right|^2&=18\\b^2&=18\\b&=\pm \sqrt{18}\\b&=\pm \sqrt{9 \cdot 2}\\b&=\pm 3\sqrt{2}\end{align*}$

Vastaus: $b= \3 \sqrt{2}$ tai $b=-3 \sqrt{2}$ .