2.2 ja 3.1 (to 26.8.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tällä sivulla on

Tuntimuistiinpanot luvuista 2.2 ja 3.1 torstaina 26.8.2021
Luku 2.2: Tehtävien 225b, 226, 227, 228, 229, 230, 232, 237 ratkaisut.
Luku 3.1: Tehtävien 301, 302, 303 ratkaisut.

225. b)

Piirretään käyrien $x^2+y^2=25$ ja $2y^2-3x=6$ kuvaajat GeoGebralla.

Kuvaajat näyttäisivät leikkaavan pisteissä $A =(4, -3)$ ja $B=(4, 3)$ .

Tarkistetaan laskemalla sijoittamalla pisteiden koordinaatit yhtälöihin $x^2+y^2=25$ ja $2y^2-3x=6$ . Lasketaan yhtälöiden vasemmat puolet. Piste on leikkauspiste, jos se toteuttaa molemmat yhtälöt.

Piste $B=(4, 3)$ :

$\begin{cases}3^2+4^2&=25\\2 \cdot 3^2 -3 \cdot 4&=6\end{cases}$

$\begin{cases}9+16&=25\\2 \cdot 9 -12&=6\end{cases}$

$\begin{cases}25&=25\\28 -12&=6\end{cases}$

$\begin{cases}25&=25\\6&=6\end{cases}$

Siten piste $(4,3)$ toteuttaa yhtälöparin.

Piste $A=(4, -3)$ :

$\begin{cases}(-3)^2+4^2&=25\\2 \cdot (-3)^2 -3 \cdot 4&=6\end{cases}$

$\begin{cases}9+16&=25\\2 \cdot 9 -12&=6\end{cases}$

$\begin{cases}25&=25\\28 -12&=6\end{cases}$

$\begin{cases}25&=25\\6&=6\end{cases}$

Siten piste $(4,-3)$ toteuttaa yhtälöparin.

Yhtälöparin ratkaisut ovat siis

$\begin{cases}y&=4\\y&=3\end{cases}$

$\begin{cases}x=24\\y=-3\end{cases}$

226. a)

Käyrän yhtälö on $x^2+y^2+2xy+6x-2y-7=0$ .

Kun käyrä leikkaa $x$ -akselin, jolloin $y$ -koordinaatti on nolla. Sijoitetaan käyrän yhtälössä $y$ :n paikalle $y=0$ . Saadaan yhtälö

$\begin{align*}x^2+0^2+2x \cdot 0 + 6x-2 \cdot 0 -7 &=0\\x^2+6x-7&=0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö GeoGebralla:

Kirjoita yhtälö ja klikkaa painiketta ”x=”

Vastaus: Käyrä leikkaa $x$ -akselin pisteissä $(1,0)$ ja $(-7,0)$ .

226. b)

Lasketaan käyrän ja suoran $x=-1$ leikkauspisteet: Sijoitetaan $x$ :n paikalle $-1$ ja ratkaistaan $y$ .

$\begin{align*}(-1)^2+y^2+2 \cdot(-1)\cdot y + 6 \cdot(-1)-2y -7 &=0\\1+y^2-2y-6-2y-7&=0\\y^2 -4y -12&=0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö GeoGebralla. Nyt muuttujana on $y$ .

Vastaus: Käyrä leikkaa käyrän $x=-1$ -akselin pisteissä $(-1,6)$ ja $(-1,-2)$ .

226. c)

Piirretään käyrä $x^2+y^2+2xy+6x-2y-7=0$ ja käyrä $x=-1$

Valitse Leikkauspisteet.
Klikkaa sitten vuoronperään kumpaakin käyrää.

Yllä olevaan kuvaan olen muokannut leikkauspisteiden väriä, poistanut nimet, poistanut käyrien nimet (eq1, jne.)

227.

Piste $(4,3)$ .

Määritetään käyrien yhtälöt

Pisteiden $x$ -koordinaatti on $y$ -koordinaatin ja luvun $14$ erotuksen neliö tarkoittaa käyrää

$x=\left(y-1\right)^2$

Pisteiden $x$ – ja $y$ -koordinaattien neliöiden summa on $25$ tarkoittaa käyrää

$x^2+y^2=25$

Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan kummankin käyrän yhtälöön pisteen $(4,3)$ koordinaatit.

$\begin{align*}x&=\left(y-1\right)^2\\4&=\left(3-1\right)^2\\4&=2^2\\4&=4\end{align*}$

Siten piste on käyrällä $x=\left(y-1\right)^2$ .

$\begin{align*} x^2+y^2&=25 \\4^2+3^2&=25\\16+9&=25\\25&=25\end{align*}$

Siten piste on käyrällä $x^2+y^2&=25$ .

Piirretään kuva GeoGebralla.

Katso sama videolta:

228. a)

Ratkaisu GeoGebralla:

$\left|3-2x\right|=5$ .

Piirretään samaan koodrinaatistoon käyrät $y=\left|3-2x\right|$ ja $y=5$ .

Koska käyrät leikkaavat pisteissä $(-1,5)$ ja $(4,5)$ , niin yhtälön $\left|3-2x\right|=5$ ratkaisuja ovat $x \approx -1$ ja $x \approx 4$ .

228. b)

Ratkaistaan itseisarvoyhtälö $\left|3-2x\right|=5$ algebrallisesti.

Saadaan kaksi yhtälöä

$\begin{align*}3-2x&=5\\-2x&=5-3\\-2x&=2\ \parallel\ :(-2)\\x&=\frac{2}{-2}\\x&=-1\end{align*}$

tai

$\begin{align*}3-2x&=-5\\-2x&=-5-3\\-2x&=-8\ \parallel\ :(-2)\\x&=\frac{-8}{-2}\\x&=4\end{align*}$

Vastaus: Itseisarvoyhtälön ratkaisut ovat $x=-1$ tai $x=4$ .

229. a)

Ratkaistaan itseisarvoyhtälö $\left|x^2-1=3\right|$ GeoGebralla. Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät $y=\left|x^2-1\right|$ ja $y=3$ .

Yhtälön ratkaisuja ovat $x \approx -2$ ja $x \approx 2$ .

Yhtälön algebralliset ratkaisut ovat:

$\begin{align*}\left|x^2-1\right|&=3\\x^2-1&=3\\x^2&=3+1\\x^2&=4\ \parallel\ \sqrt{\ }\\x&= \pm 2\end{align*}$

tai

$\begin{align*}\left|x^2-1\right|&=-3\\x^2-1&=-3\\x^2&=-3+1\\x^2&=-2\end{align*}$

Ei ratkaisua, koska minkään luvun neliö ei voi olla negatiivinen.

Vastaus: Itseisarvoyhtälön ratkaisut ovat $x=-2$ tai $x=2$ .

229. b)

Ratkaistaan itseisarvoyhtälö $\left|x^2-x=2\right|$ GeoGebralla. Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät $y=\left|x^2-x\right|$ ja $y=2$ .

Yhtälön ratkaisuja ovat $x \approx -1$ ja $x \approx 2$ .

Yhtälön algebralliset ratkaisut ovat:

$\begin{align*}\left|x^2-x\right|&=2\\x^2-x&=2\ \ \text{tai}\ \ \ \ \ \ x^2-x=-2\ \text{ratkaistaan alempana}\\ x^2-x-2&=0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö, jonka yleinen muoto on

$ax^2+bx+c=0$

Ratkaisukaava on

$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ratkaistavassa yhtälössä $x^2-x-2&=0$ vakioiden arvot ovat:

$\begin{cases}a&=1\\b&=-1\\c&=-2\end{cases}$

$\begin{align*}x^2-x-2&=0\\x&=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2}\\x&=\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\\x&=\frac{1\pm 3}{2}\\x&=\frac{1-3}{2}\\x&=\frac{-2}{2}\\x&=-1\\&\ \text{tai}\\x&=\frac{1+3}{2}\\x&=\frac{4}{2}\\x&=2\end{align*}$

tai

$\begin{align*}x^2-x&=-2\\x^2-x+2&=0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö, jossa

$\begin{cases}a&=1\\b&=-1\\c&=2\end{cases}$

$\begin{align*}x^2-x+2&=0\\x&=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2}\\x&=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2}\\\end{align*}$

Ei ratkaisua, koska juurrettava on negaviivinen.

Vastaus: Itseisarvoyhtälön ratkaisut ovat $x=-1$ tai $x=2$ .

229. c)

Ratkaistaan itseisarvoyhtälö $\left|x-3\right|=-2$ GeoGebralla. Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät $y=\left|x-3\right|$ ja $y=-2$ .

Yhtälöllä ei näyttäisi olevan ratkaisuja.

Ratkaistaan itseisarvoyhtälö algebrallisesti.

$\left|x-3\right|=-2$

Koska minkään luvun itseisarvo ei ole negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisua.

230. a)

Piirretään GeoGebralla samaan koordinaatistoon käyrät $y=\left|x+1 \right|$ ja $y=\left|4-2x\right|$ .

Yhtälön ratkaisuja ovat $x \approx 1$ ja $x \approx 5$ .

Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti.

$\left|x+1 \right|=4-2x$

$\begin{align*}x+1&=4-2x\\x+2x&=4-1\\3x&=3\ \parallel\ :3\\x&=\frac{3}{3}\\x&=1\end{align*}$

tai

$\begin{align*}x+1&=-(4-2x)\\x+1&=-4+2x\\x-2x&=-4-1\\-x&=-5\ \parallel\ :(-1)\\x&=\frac{-5}{-1}\\x&=5\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=1$ ja $x=5$ .

230. b)

Piirretään GeoGebralla samaan koordinaatistoon käyrät $y=\left|x^2-3 \right|$ ja $y=\left|2x\right|$ .

Yhtälön ratkaisuja ovat $x \approx -3$ , $x \approx -1$ , $x \approx 1$ ja $x \approx 3$ .

Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti.

$\left|x^2-3 \right|=\left|2x\right|$ .

$x^2-3&=2x$ tai $x^2-3&=-2x$

$\begin{align*}x^2-3&=2x\\x^2-2x-3&=0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö, jossa

$\begin{cases}a&=1\\b&=-2\\c&=-3\end{cases}$

$\begin{align*}x&=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{2 \pm \sqrt{4 +12}}{2}\\x&=\frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}\\x&= \frac{2 \pm 4}{2}\\x&=\frac{2-4}{2}\\x&=\frac{-2}{2}\\x&=-1\\\text{tai}\\x&=\frac{2+4}{2}\\x&=\frac{6}{2}\\x&=3\end{align*}$

$\begin{align*}x^2-3&=-2x\\x^2+2x-3&=0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö, jossa

$\begin{cases}a&=1\\b&=2\\c&=-3\end{cases}$

$\begin{align*}x&=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{4 +12}}{2}\\x&=\frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}\\x&= \frac{-2 \pm 4}{2}\\x&=\frac{-2-4}{2}\\x&=\frac{-6}{2}\\x&=-3\\\text{tai}\\x&=\frac{-2+4}{2}\\x&=\frac{2}{2}\\x&=1\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=-3$ , $x=-1$ , $x=1$ ja $x=3$ .

232. a)

Piirretään käyrä $y=\left|x\right|$ .

Kun $x<0$ , käyrän yhtälö on $y=-x$ . Kun $x \geq 0$ , käyrän yhtälö on $y=x$ .

Siis

$\begin{cases}y=-x,\ x<0\\y=x,\ x \geq 0\end{cases}$

Käyrä voidaan myös piirtää siten, että piirretään käyrä $y=x$ ja peilataan $x$ -akselin alapuoline osa $x$ -akselin yläpuolelle.

232. b)

Piirretään GeoGebralla käyrä $y = 4$ samaan koordinaatistoon käyrän $y = \left|x\right|$ kanssa.

Yhtälön $\left|x\right|=4$ ratkaisu on $x \approx -4$ tai $x \approx 4$ .

237. a)

Piirretään GeoGebralla käyräparvi $x^3+y^3=3axy$ , jossa $a$ on parametri.

Yllä olevassa kuvassa parametri $a$ saa arvoja välillä $[-5,5]$ .

237. b)

Sijoitetaan käyräparven yhtälössä $x^3+y^3=3axy$ pisteen $(3,3)$ koordinaatit ja ratkaistaan parametri $a$ .

$\begin{align*} x^3+y^3&=3axy\\3^3+3^3&= 3a \cdot 3 \cdot 3\\27+27&=27a\\27a&=54\ \parallel :27\\a&=\frac{54}{27}\\a&=2\end{align*}$

Vastaus: Parametrin $a$ arvolla $a=2$ käyrä kulkee pisteen $(3,3)$ kautta.

3.1 Suoran suunta: 301, 303a, 305, 309, 313.
3.2 Suoran yhtälö: 321, 326, 327a, 330, 331.

301

Suora $a$ , pisteet $(2,-1)$ ja $(4,3)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{3-(-1)}{4-2}=\dfrac{4}{2}=2$

Suora $b$ , pisteet $(1,3)$ ja $(10,0)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{0-3}{10-1}=\dfrac{-3}{9}=-\dfrac{1}{3}$

Suora $c$ , pisteet $(8,4)$ ja $(10,-2)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{-2-4}{10-8}=\dfrac{-6}{2}=-3$

302. a)

Pisteet $(-3,5)$ ja $(1,9)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{9-5}{1-(-3)}=\dfrac{4}{4}=1$

302. b)

Pisteet $(13,7)$ ja $(-3,7)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{7-7}{-3-13}=\dfrac{0}{-13}=0$

302. b)

Pisteet $(8,9)$ ja $(8,13)$ .

Kulmakerroin $k=\dfrac{13-9}{8-8}=\dfrac{4}{0}$

Ei ole kulmakerrointa, koska suora on pystysuora.

303. a)

Suora kulkee pisteen $(3,2)$ kautta ja kulmakerroin on $2$ . Kun $x$ -koordinaatti muuttuu oikealle yhden yksikön verran, $y$ -koordinaatti muuttuu ylös kahden yksikön verran.

Siten toinen $x$ -koordinaatti on esimerkiksi $3+1=4$ ja $y$ -koordinaatti on esimerkiksi $2+2=4$ eli koordinaatitksi tulee $(4,4)$ .

303. b)

Suora kulkee pisteen $(0,2)$ kautta ja kulmakerroin on $\frac{3}{4}$ . Kun $x$ -koordinaatti muuttuu oikealle neljän yksikön verran, $y$ -koordinaatti muuttuu ylös kolmen yksikön verran.

Siten toinen $x$ -koordinaatti on esimerkiksi $0+4=4$ ja $y$ -koordinaatti on esimerkiksi $2+3=4$ eli koordinaatitksi tulee $(4,5)$ .

303. b)

Suora kulkee pisteen $(5,0)$ kautta ja kulmakerroin on $-\frac{2}{3}$ . Kun $x$ -koordinaatti muuttuu oikealle kolmen yksikön verran, $y$ -koordinaatti muuttuu alas kahden yksikön verran.

Siten toinen $x$ -koordinaatti on esimerkiksi $5+3=8$ ja $y$ -koordinaatti on esimerkiksi $0-2=-2$ eli koordinaatitksi tulee $(8,-2)$ .