1.1 ja 1.2 (to 19.8.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tällä sivulla on

Luvun 1.2 tuntimuistiinpanot torstaina 19.8.2021
Tehtävien 116, 117, 119, 131, 132, 133, 136, 139, 141, 142 ja 147 ratkaisut.

Tehtävä 116. a)

Merkitään luvun $x$ etäisyys luvusta $-7$ :
$\left| x -(-7) \right| = \left| x + 7 \right|$

Merkitään luvun $x$ etäisyys luvusta $5$ :
$\left |x - 5 \right|$

Näiden etäisyyksin tulee olla yhtäsuuret. Nyt saadaan yhtälö

$\left |x + 7 \right|= \left|x - 5 \right|$

Yhtälö $\left | x + 7 \right|= \left|x - 5 \right|$ toteutuu täsmälleen silloin kun $x + 7 = x - 5$ tai
$x + 7 = -(x - 5)$ . Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*}x+7&=x-5\\x-x&=-5-7\\0&=-12\end{align*}$

Ei ratkaisua.

Huom! Edellä olevan yhtälön ratkaisun voisi kirjoittaa myös seuraavasti:

$\begin{align*}x+7&=x-5\\7&=-5\end{align*}$

Ei ratkaisua.

Ratkaistaan toinen yhtälö:

$\begin{align*}x+7&=-(x-5)\\x+7&=-x+5\\x+x&=5-7\\2x&=-2\ \parallel\ :2\\x&=-\frac{2}{2}\\x&=-1\end{align*}$

Tarkistetaan saatu ratkaisu. Sijoitetaan $x=-1$ yhtälöön $\left |x + 7 \right|= \left|x - 5 \right|$ :

$\begin{align*}\left|-1+7 \right| &=\left|-1-5 \right|\\\left|6 \right| &= \left|-6 \right|\\6&=6\end{align*}$

Vastaus: $x=-1$

Tehtävä 116. b)

Piirretään lukusuora ja merkitään luvut $-7$ ja $5$ lukusuoralle.

Lukursuoralta huomataan, että luvun $-1$ etäisyys luvuista $-7$ ja $5$ on yhtä suuri eli $6$ . Siten luku $-1$ on yhtä etäällä kummastakin.

Tehtävä 117.

Tämä etäisyys on yhtäsuuri kuin $5$ eli $\left|-5x-4\right|=5$

Yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun $-3x-4=5$ tai $-3x-4=-5$ .

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*} -3x-4&=5 \\-3x&=5+4\\-3x&=9\ \parallel\ :(-3)\\x&=\frac{9}{-3}\\x&=-3\end{align*}$

tai

$\begin{align*} -3x-4&=-5 \\-3x&=-5+4\\-3x&=-1\ \parallel\ :(-3)\\x&=\frac{-1}{-3}\\x&=\frac{1}{3}\end{align*}$

Sijoitetaan saadut ratkaisut $x=-3$ ja $x=\frac{1}{3}$ lausekkeisiin $2x-3$ ja $5x+1$ .

Kun $x=-3$ , saadaan
$2 \cdot (-3) -3=-6-3=-9$
ja
$5 \cdot (-3)+1=-15+1=-14$

Siis kysytyt luvut ovat $-9$ ja $-14$ .

Kun $x =\frac{1}{3}$ , saadaan

$\begin{align*}2\cdot \frac{1}{3} -3 &= \frac{2}{3} -\frac{3}{1}^{\text{(3}}\\&= \frac{2}{3} -\frac{9}{3}\\&=\frac{2-9}{3}\\&=\frac{-7}{3}\\&=-2\frac{1}{3}\end{align*}$

$\begin{align*}5\cdot \frac{1}{3} +1 &= \frac{5}{3} +\frac{1}{1}^{\text{(3}}\\&= \frac{5}{3} + \frac{3}{3}\\&=\frac{5+3}{3}\\&=\frac{8}{3}\\&=2\frac{2}{3}\end{align*}$

Siis kysytyt luvut ovat $-2\frac{1}{3}$ ja $2\frac{2}{3}$ .

Tehtävä 119. a)

Katso Appletti osoitteessa https://www.geogebra.org/m/hyNBY8MQ#material/sf8HWw2p

Tehtävä 119. b)

Etäisyys luvusta $3$ on kolme kertaa niin suuri kuin etäisyys luvusta $-3$ . Nyt saadaan yhtälö
$\left|x-3\right| =3 \left|x+3\right|$

Sievennetään itseisarvon laskusääntöjen nojalla:

$\begin{align*}\left|x-3\right| &=3 \left|x+3\right|\\ \left|x-3\right| &=\left|3\right| \left|x+3\right|\\ \left|x-3\right| &=\left|3(x+3)\right|\\ \left|x-3\right| &=\left|3x+9\right|\end{align*}$

Yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun $x-3=3x+9$ tai $x-3=-(3x+9)$ .

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*}x-3&=3x+9\\ x-3x&=9+3\\-2x&=12\ \parallel\ :(-2)\\x&=\frac{12}{-2}\\x&=-6\end{align*}$

Toinen yhtälö

$\begin{align*}x-3&=-(3x+9)\\ x-3&=-3x-9\\x+3x&=-9+3\\4x&=-6 \ \parallel\ :4\\ x&=-\frac{6}{4}\\x&=-\frac{3}{2}\\&=-1\frac{1}{2} \end{align*}$

Vastaus: $x=-6$ tai $x=-1\frac{1}{2}$

Tehtävä 131

A-III, B-II, C-IV, D-I

Tehtävä 132. a)

Epäyhtälö $\left|x \right| < 2$ toteutuu täsmälleen silloin, kun luvun $x$ etäisyys nollasta on pienempi kuin $2$ eli $-2 < x < 2$ .

Tehtävä 132 a)

Tehtävä 132. b)

Epäyhtälö $\left|6x \right| < 24$ toteutuu täsmälleen silloin, kun luvun $6x$ etäisyys
nollasta on pienempi kuin $24$ eli $-24 < 6x < 24$ .

Ratkaistaan kaksoisepäyhtälö:

$\begin{align*} -24& < 6x < 24\ \parallel\ :6\\-\frac{24}{6}&<\frac{6x}{6}<\frac{24}{6}\\-4&<x<4\end{align*}$

Epäyhtälön ratkaisu on $-4 < x < 4$ .

Tehtävä 132 b)

Tehtävä 132. c)

Epäyhtälö $\left|5x+10\right| \le 20$ toteutuu täsmälleen silloin, kun $-20 \le 5x+10 \le 20$ .

Ratkaistaan kaksoisepäyhtälö:

$\begin{align*} -20& \le 5x +10 \le 20\ \parallel\ -10\\-20-10& \le 5x \le 20-10\\-30 &\le 5x \le 10\ \parallel\ :5\\\frac{-30}{5} &\le \frac{5x}{5} \le \frac{10}{5}\\-6 &\le x \le 2\end{align*}$

Tehtävä 132 c)

Tehtävä 132. d)

Epäyhtälö $\left|3 - 2x\right| < 5$ toteutuu täsmälleen silloin, kun $-5 < 3 - 2x < 5$ .

Ratkaistaan kaksoisepäyhtälö:

$\begin{align*} -5 &< 3 - 2x < 5 \ \parallel\ -3\\-5-3 &< -2x<5-3\\-8&<-2x<2\ \parallel\ :(-2)\\\frac{-8}{-2}&<\frac{-2x}{-2}<\frac{2}{-2}\\4&>x>-1\end{align*}$

Epäyhtälön ratkaisu on $-1 < x < 4$ .

Ratkaisun esitys lukusuoralla

Tehtävä 132 d)

Tehtävä 133. a)

Itseisarvoepäyhtälö $|x |\ge 3$ tarkoittaa niitä lukuja $x$ , joiden etäisyys nollasta on suurempi tai yhtäsuuri kuin 3.

Epäyhtälö toteutuu, kun

$x \le -3$ tai $x \ge 3$ .

Ratkaisun esitys lukusuoralla

Tehtävä 133 a)

Tehtävä 133. b)

Epäyhtälö $\left|2x\right| > 10$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$2x < -10$ tai $2x > 10$ .

Ratkaistaan molemmat epäyhtälöt.

$\begin{align*} 2x &< -10\ \parallel : 2 \\x &< \frac{-10}{2} \\x &<-5\end{align*}$

tai

$\begin{align*} 2x & >10\ \parallel :2 \\x &>\frac{10}{2}\\x &>5\end{align*}$

Epäyhtälön ratkaisu on $x < -5$ tai $x > 2$ .

Ratkaisun esitys lukusuoralla

Tehtävä 133 b)

Tehtävä 133. c)

Epäyhtälö $\left|4x - 2\right| > 10$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$4x - 2 < -10$ tai $4x -2 > 10$ .

Ratkaistaan molemmat epäyhtälöt.

$\begin{align*} 4x - 2 &< -10 \\4x &<-10+2\\4x&<-8\ \parallel\ :4\\x &<\frac{-8}{4}\\x &<-2\end{align*}$

tai

$\begin{align*} 4x - 2 & >10 \\4x &>10+2\\4x&>12\ \parallel\ :4\\x &>\frac{12}{4}\\x &>3\end{align*}$

Epäyhtälön ratkaisu on $x < -2$ tai $x > 3$ .

Ratkaisun esitys lukusuoralla

Tehtävä 133. d)

Epäyhtälö $\left|10-7x \ge \right| \ 3$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$10-7x \le -3$ tai $10-7x \ge 3$ .

Ratkaistaan molemmat epäyhtälöt.

$\begin{align*} 10-7x & \le -3\\-7x & \le-3-10\\-7x& \le-13\ \parallel\ :(-7)\\x & \ge \frac{-13}{-7}\\x & \ge \frac{13}{7}=1 \dfrac{6}{7}\end{align*}$

tai

$\begin{align*} 10-7x & \ge 3\\-7x & \ge 3-10\\-7x& \ge -7\ \parallel\ :(-7)\\x & \le \frac{-7}{-7}\\x & \le 1\end{align*}$

Epäyhtälön ratkaisu on $\le 1$ tai $x \ge \dfrac{13}{7}$ .

Ratkaisun esitys lukusuoralla

Tehtävä 133 d)

Tehtävä 134 a)

Epäyhtälö $\left|n\right|>2$ tarkoittaa niitä kokonaislukuja $n$ , joiden etäisyys nollasta on suurempi kuin $2$ .

Tehtävässä annetuista kokonaisluvuista $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ vain luvut $-3$ ja $3$ toteuttavat epäyhtälön.

Tehtävä 134 b)

Epäyhtälö $\left|n\right|\leq2$ tarkoittaa niitä kokonaislukuja $n$ , joiden etäisyys nollasta on pienempi tai yhtä suuri kuin $2$ .

Kokonaisluvuista $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ luvut $-2{,}\ -1{,} 0, 1$ ja $2$ toteuttavat epäyhtälön.

Tehtävä 134 c)

Epäyhtälö $\left|n\right| < 2$ tarkoittaa niitä lukuja $n$ , joiden etäisyys nollasta on
pienempi kuin $2$ .

Kokonaisluvuista $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ luvut $-1{,} 0$ ja $1$ toteuttavat epäyhtälön.

Tehtävä 134 d)

Epäyhtälö $\left|n\right| \geq 2$ tarkoittaa niitä lukuja $n$ , joiden etäisyys nollasta on
suurempi tai yhtä suuri kuin $2$ .

Kokonaisluvuista $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ luvut $-3,-2, 2$ ja $3$ toteuttavat epäyhtälön.

Tehtävä 135 a)

Epäyhtälö $\left|3x + 1\right| < -1$ on aina epätosi, koska minkään luvun itseisarvo ei ole negatiivinen. Siten itseisarvo ei voi olla pienempi kuin negatiivinen luku.

Tehtävä 135 b)

Epäyhtälö $\left |x - 3\right| \geq 0$ aina tosi, koska itseisarvo on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.

Tehtävä 135 c)

Tehtävä 135 d)

Vain luku $x = 5$ , jolloin lauseke $5-x=0$ , toteuttaa epäyhtälön $\left|5-x\right|\le0$ , koska itseisarvo on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.

Tehtävä 136. a)

Itseisarvoepäyhtälö $\left|6x+1\right|<3$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$-3<6x+1<3$ .

Ratkaistaan kaksoisepäyhtälö:

$\begin{align*} -3& <6x+1<3\ \parallel\ -1\\-3-1&<6x+1-1<3-1\\-4&<6x<2\ \parallel\ :6\\-\frac{4}{6}&<\frac{6x}{6}<\frac{2}{6}\\-\frac{2}{3}&<x<\frac{1}{3}\end{align*}$

Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on $-\dfrac{2}{3}<x<\dfrac{1}{3}$ .

Tehtävä 136. b)

Itseisarvoepäyhtälö $\left|5-12x\right|>9$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$5-12x<-9$ tai $5-12x>9$ .

Ratkaistaan molemmat epäyhtälöt.

$\begin{align*} 5-12x&<-9\\-12x&<-9-5\\-12x&<-14\ \parallel\ :(-12)\\x&>\frac{-14}{-12}\\x&>\frac{7}{6}\end{align*}$

tai

$\begin{align*}5-12x&>9\\-12x&>9-5\\-12x&>4\ \parallel\ :(-12)\\x&>\frac{4}{-12}\\x&<-\frac{1}{3}\end{align*}$

Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on $x<-\dfrac{1}{3}$ tai $x>\dfrac{7}{6}$ .

Tehtävä 136. c)

Itseisarvoepäyhtälö $\left|4x\right|\le 2$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$-2 \le 4x \le 2$ .

Ratkaistaan kaksoisepäyhtälö:

$\begin{align*} -2& \le 4x\le 2\ \parallel\ :4\\-\frac{2}{4}& \le\frac{4x}{4} \le \frac{2}{4}\\-\frac{1}{2}& \le x \le \frac{1}{2}\end{align*}$

Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on $-\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{1}{2}$ .

Tehtävä 136. d)

Itseisarvoepäyhtälö $\left|-3x+7\right| \geq 2$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$-3x+7 \le-2$ tai $-3x+7 \geq 2$ .

Ratkaistaan molemmat epäyhtälöt.

$\begin{align*}-3x+7 &\le-2\\-3x&<-2-7\\-3x&<-9\ \parallel\ :(-3)\\x&\geq \frac{-9}{-3}\\x& \geq 3\end{align*}$

tai

$\begin{align*}-3x+7 &\geq 2\\-3x&\geq 2-7\\-3x& \geq -5\ \parallel\ :(-3)\\x& \le \frac{-5}{-3}\\x& \le \frac{5}{3}\\\end{align*}$

Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on $x\le \dfrac{5}{3}$ tai $x& \geq 3$ .

Tehtävä 139. a)

Luvun $x$ etäisyys luvusta $5$ on $\left|x-5\right|$ . Tämän etäisyyden tulee olla enintään (eli korkeintaan) $3$ .

Saadaan epäyhtälö $\left|x - 5\right| \le 3$ .

Ratkaistaan kaksoisepäyhtälö:

$\begin{align*} -3& \le x-5 \le 3\ \parallel\ +5\\-3+5&\le x-5+5<3+5\\\le 2&\le x\le 8\end{align*}$

Välillä $\le 2&\le x\le 8$ olevat luvut toteuttavat ehdon.

Tehtävä 139. b)

Luvun $x$ etäisyys luvusta $-2$ on $\left|x-(-2)\right|=\left|x+2\right|$ . Tämän etäisyyden tulee olla suurempi kuin (eli enemmän kuin) 7.

Saadaan epäyhtälö $\left|x+2\right|>7$ . Epäyhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun $x+2<-7$ tai $x+2>7$ .

Ratkaistaan molemmat epäyhtälöt.

$\begin{align*}x+2 &< -7 \\x &<-7-2\\x&<-9\end{align*}$

tai

$\begin{align*} x+2 & >7 \\x &>7-2\\x&>5\end{align*}$

Väleillä $x<-9$ tai $x>5$ olevat luvut toteuttavat ehdon.

Tehtävä 141 a)

Tässä tehtävässä tarvitaan neliöönkorotuslausetta.

Ei-negatiivisille luville $a$ ja $b$ pätee

$a<b$ jos ja vain jos $a^2<b^2$

Koska itseisarvot ovat ei-negatiivisia, voidaan neliöönkorotuslauseen perusteella korottaa epäyhtälön

$\left|x+1\right|<\left|x-2\right|$

molemmat puolet neliöön.

Tällöin epäyhtälön

$\left(x+1\right)^2<\left(x-2\right)^2$

ratkaisut ovat samat kuin alkuperäisen epäyhtälön.

$\begin{align*}\left|x+1\right|&<\left|x-2\right|\\\left(x+1\right)^2&<\left(x-2\right)^2\\x^2+2\cdotx \cdot 1+1^2&<x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2\\x^2+2x+1 &<x^2-4x+4\\x^2-x^2+2x+4x&<4-1\\6x&<3\ \parallel\ :6\\x&<\frac{3}{6}^{\text{(}3}\\x&<\frac{1}{2}\end{align*}$

Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on $x<\dfrac{1}{2}$ .

Tehtävä 141 b)

Koska itseisarvot ovat ei-negatiivisia, voidaan epäyhtälön

$\left|2 - 2x\right| \geq \left|5 + 2x\right|$

molemmat puolet korottaa neliöön.

$\begin{align*}\left|2 - 2x\right|& \geq \left|5 + 2x\right|\\\left(2-2x\right)^2&\geq \left(5+2x \right)^2\\2^2-2 \cdot 2 \cdot 2x + (2x)^2 &\geq 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2\\4-8x+4x^2 &\geq 25 + 20x + 4x^2\\4x^2-4x^2-8x-20x & \geq 25-4\\-28x & \geq 21\ \parallel :(-28)\\x & \le \frac{21}{-28}^{\text{(}7}\\x & \le -\frac{3}{4}\end{align*}$

Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on $x \le -\dfrac{3}{4}$ .

Tehtävä 142. a)

Koska itseisarvot ovat ei-negatiivisia, voidaan epäåyhtälön $\left| 3x-1\right| \geq \left|x+2\right |$ molemmat puolet korottaa neliöön eli toiseen potenssiin.

$\begin{align*}\left| 3x-1\right| & \geq \left|x+2\right |\\\left( 3x-1\right)^2 &\geq \left(x+2\right )^2\\9x^2-6x+1 &\geq x^2+4x+4\\9x^2-x^2-6x-4x+1-4 &\geq 0\\8x^2-10x-3 &\geq 0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen funktion $f(x)=8x^2-10x-3$ nollakohdat yhtälöstä
$8x^2-10x-3=0$

Toisen asteen yhhälön ratkaisukaavalla saadaan

$\begin{align*}x&=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 8 \cdot (-3)}}{2\cdot 8}\\x&=\frac{10 \pm \sqrt{100+96}}{16}\\x&=\frac{10 \pm \sqrt{196}}{16}\\x&=\frac{10 \pm 14}{16}\\x&=\dfrac{10-14}{16}\ &\text{tai}\ x&=\dfrac{10+14}{16}\\x&=\dfrac{-4}{16}\ &\text{tai}\ x&=\dfrac{24}{16}\\x&=-\dfrac{1}{4}\ &\text{tai}\ x&=\dfrac{3}{2}\\\end{align*}$

Funktion $f(x)=8x^2-10x-3$ toisen asteen kerroin 8 on positiivinen, joten funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

Tehtävä 142 a). Ylöspäin *aukeava* paraabeli.

Epäyhtälön $8x^2-10x-3 \geq 0$ ja samalla epäyhtälön $\left| 3x-1\right| \geq \left|x+2\right |$ ratkaisu on

$x \le -\dfrac{1}{4}$ tai $x \geq \dfrac{3}{2}$ .

Tehtävä 142. b)

Koska itseisarvot ovat ei-negatiivisia, voidaan epäåyhtälön $\left| 1+x\right| > \left|3-4x\right |$ molemmat puolet korottaa neliöön eli toiseen potenssiin.

$\begin{align*}\left| 1+x\right| &> \left|3-4x\right |\\\left( 1+x\right)^2 &> \left(3-4x\right )^2\\1+2x+x^2 &> 9-24x + 16x^2\\x^2-16x^2+2x+24x+1-9 &> 0\\-15x^2+26x-8 &> 0\end{align*}$

Ratkaistaan toisen asteen funktion $f(x)=-15x^2+26x-8=0$ nollakohdat yhtälöstä
$-15x^2+26x-8=0$

Toisen asteen yhhälön ratkaisukaavalla saadaan

$\begin{align*}x&=\frac{-26 \pm \sqrt{26^2-4\cdot (-15) \cdot (-8)}}{2\cdot (-15)}\\x&=\frac{-26 \pm \sqrt{676-480}}{-30}\\x&=\frac{-26 \pm \sqrt{196}}{-30}\\x&=\frac{-26 \pm 14}{-30}\\x&=\dfrac{-26-14}{-30}\ &\text{tai}\ x&=\dfrac{-26+14}{-30}\\x&=\dfrac{-40}{-30}\ &\text{tai}\ x&=\dfrac{-12}{-30}\\x&=\dfrac{4}{3}\ &\text{tai}\ x&=\dfrac{2}{5}\\\end{align*}$

Funktion $f(x)=-15x^2+26x-8=0$ toisen asteen kerroin $-15$ on negatiivinen, joten funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

*Tehtävä 142 b). Alaspäin aukeava paraabeli.*

Epäyhtälön $-15x^2+26x-8> 0$ ja samalla epäyhtälön $\left| 1+x\right| > \left|3-4x\right |$ ratkaisu on

$\dfrac{2}{5} < x < \dfrac{4}{3}$ .

Tehtävä 147 a)

Neliöjuuri on määritelty, kun juurrettava on ei-negatiivinen. Luvun
neliö $x^2$ on aina ei-negatiivinen, joten $x^2 + 1 > 0$ . Tällöin lauseke

$\sqrt{x^2+1}$

on määritelty kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Tehtävä 147 b)

Yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, joten voidaan käyttää neliöönkorotuslausetta.

$\begin{align*}\sqrt{x^2+1}&=\left|x+1\right|\ \parallel\ ()^2\\\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2&=\left|x+1\right|^2\\x^2+1&=\left(x+1\right)^2\\x^2+1&=x^2+2 \cdot x\cdot 1 +1^2\\x^2+1&=x^2+2x+1\\x^2-x^2-2x&=1-1\\-2x&=0\ \parallel\ :(-2)\\x&=\frac{0}{-2}\\x&=0\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisu on $x=0$ .