1.1 (ti 17.8.) - Analyyttinen geometria (MAA05)

Tällä sivulla on

Tuntimuistiipanot luvusta 1.1. tiistaina 17.8.2021 ja torstaina 19.8.2021
Luku 1.1: Tehtävät 102 – 110, 112c, 113c, 114a, 114c, 126

Tehtävä 102

a) $|-4|=-(-4) = 4$ .

b) Luvun etäisyys nollasta lukusuoralla on luvun itseisarvo. Siten
$\left| -\dfrac{2}{3} \right|= -\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{2}{3}$ .

c) Etäisyydellä $\sqrt{3}$ nollasta ovat luvut, joiden itseisarvo on $\sqrt{3}$ . Luvut ovat $-\sqrt{3}$ ja $\sqrt{3}$ .

d) Luvun $-24$ itseisarvo on $|-24|=24$ . Luvun $24$ itseisarvo on $|24|=24$ .
Luvut ovat $-24$ ja $24$ .

Tehtävä 103

a) Koska $\sqrt{4}=2$ ja $\sqrt{4}>\sqrt{3}$ , luku $2$ on suurempi.

b) Koska a-kohdassa pääteltiin, että $\sqrt{3}$ on pienempi kuin $2$ eli $\sqrt{3}<2$ , niin lauseke $\sqrt{3}-2<0$ .

Jos luku on negatiivinen eli pienempi kuin nolla, niin sen itseisarvo on luvun vastaluku.
$\left|\sqrt{3}-2 \right|=-\left(\sqrt{3}-2\right)=-\sqrt {3}+2 = 2 -\sqrt{3}$ .

Tehtävä 104

Selvitetään kaikissa kohdissa, onko itseisarvomerkkien sisällä oleva luku positiivinen vai negatiivinen.

a) $\pi \approx 3{,}141 \ldots >3$ . Siten luku $3- \pi$ on pienempi kuin nolla eli negatiivinen.

Negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku.
$\left | 3- \pi \right| = -(3- \pi) = -3 + \pi = \pi +3$

b) Koska luku $1=\sqrt{1}$ , niin $1<\sqrt{2}$ . Siten $1-\sqrt{2}<0$ .

Negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku.
$\left | 1- \sqrt{2} \right| = -(1- \sqrt{2}) = -1+ \sqrt{2}=\sqrt{2}-1$ .

c) Koska luku $4=\sqrt{16}$ ja toisaalta $\sqrt{16}>\sqrt{13}$ , on luku $4-\sqrt{13}>0$ .

Positiivisen luvun itseisarvo on luku itse.
$\left | 4- \sqrt{13} \right|=4-\sqrt{13}$ .

Tehtävä 105

a) Luvun $x$ itseisarvo on 1, eli luvun etäisyys nollasta on 1. Lukujen -1 ja 1 etäisyys nollasta on 1, koska $\left|-1 \right| = -(-1) = 1$ ja $\left|1 \right|=1$ .

Alla oleva kuva on tehty GeoGebralla.

Tehtävä 105a. Lukusuora.

b) Luvun $x$ itseisarvo on 3, eli luvun etäisyys nollasta on 3. Lukujen -3 ja 3 etäisyys nollasta on 3, koska $\left|-3 \right| = -(-3) = 3$ ja $\left|3 \right|=3$ .

c) Yhtälöllä $\left|x=-1\rigth |$ ei ole ratkaisua, koska minkään luvun itseisarvo ei ole negatiivinen luku.

Tehtävä 106

a) Yhtälö $\left|x+3 \right|=4$ toteutuu, kun luvun $x+3$ etäisyys nollasta on 4. Lukujen -4 ja 4 etäisyys nollasta on 4.

Saadaan yhtälöt

$x+3=-4$ tai $x+3=4$ .

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*}x+3 &=-4\\x &=-4-3\\x &=-7\end{align*}$

$\begin{align*}x+3 &=4\\x &=4-3\\x &=1\end{align*}$

Tarkistus:

Vastaus: Yhtälöt ratkaisut ovat $x=-7$ ja $x=1$ .

b) Yhtälö $\left|2x+1 \right|=7$ toteutuu, kun luvun $2x+1$ etäisyys nollasta on 7. Lukujen -7 ja 7 etäisyys nollasta on 7.

Saadaan yhtälöt

$2x+1=-7$ tai $2x+1=7$ .

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*}2x+1 &=-7\\2x &=-7-1\\2x &=-8\ \parallel\ :2\\x &=\frac{-8}{2}\\x &= -4\end{align*}$

$\begin{align*}2x+1 &=7\\2x &=7-1\\2x &=6\ \parallel\ :2\\2x &= \frac{6}{2}\\x &= 3\end{align*}$

Tarkistus:

Vastaus: Yhtälöt ratkaisut ovat $x=-4$ ja $x=3$ .

c) Luvun $x$ etäisyys nollasta pitää olla nolla. Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu $x=0$ .

Tehtävä 107

Tässä tehtävässä käytetään kirjan sivulla 13 olevaa lausetta:

$\boxed{\left|a\right| = \left|b\right|$ jos ja vain jos $\ a=b$ tai $\ a=-b}$

a) Yhtälö $\left|x-2 \right| = \left|5-2x\right|$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$x-2 = 5-2x$ tai $x-2 = -(5-2x)$ .
Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*} x-2 &= 5-2x \\x + 2x &= 5+2\\3x &=7\ \parallel\ :3\\x &=\frac{7}{3}\end{align*}$

$\begin{align*} x-2 &= -(5-2x) \\x -2 &= -5+2x\\x-2x &=-5+2\\-x &=-3\ \parallel\ :(-1)\\x &=\frac{-3}{-1}\\x &= 3\end{align*}$

Tarkistus GeoGebralla.

Kirjoita GeGebrassa CAS-näkymässä $\left|x-2 \right| = \left|5-2x\right|$ .
Paina enteriä.
Klikkaa painetta x =

Toinen tapa on kirjoittaa suoraan komento Ratkaise(), jonka sulkeiden sisään kirjoitetaan ratkaistava yhtälö $\left|x-2 \right| = \left|5-2x\right|$ ja pilkun jälkeen, minkä muuttujan suhteen yhtälö ratkaistaan.

Tehtävä 107a. Toinen tapa GeoGebra ja CAS -ratkaisussa.

Koska ratkaistavssa yhtälössä on muuttujana vain $x$ , myös komento
Ratkaise( $\left|x-2 \right| = \left|5-2x\right|$ ) toimisi oikein.

Tehtävä 107a. Kolmas tapa GeoGebra ja CAS -ratkaisussa.

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x =\dfrac{7}{3}$ tai $x=3$ .

b) Yhtälö $\left|x-2 \right| = \left|5x\right|$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$x-2 = 5x$ tai $-2 = -5x$ .

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*} x-2 &= 5x \\x -5x &= 2\\-4x &=2\ \parallel\ :(-4)\\x &=\frac{2}{-4}\\x &=-\frac{1}{2}\end{align*}$

$\begin{align*} x-2 &= -5x \\x +5x &= 2\\ 6x &=2\ \parallel\ :6\\x &=\frac{2}{6}\\x &=-\frac{1}{3}\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x =-\dfrac{1}{2}$ tai $x=\dfrac{1}{3}$ .

c) Siirretään ensin yhtälön $\left|10x+4 \right| - \left|20x\right| = 0$ itseisarvolausekkeet eri puolille yhtäsuuruusmerkkiä.

$\begin{align*}\left|10x+4 \right| - \left|20x\right| &= 0 \\ \left|10x+4 \right| = \left|20x\right| \end{align*}$

Yhtälö $\left|10x+4 \right| = \left|20x\right|$ toteutuu täsmälleen silloin, kun
$10x+4 = 20x$ tai $10x+4 = -20x$ .

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*}10x + 4 &= 20x\\10x-20x &=-4\\-10x &=-4\ \parallel\ :(-10)\\x &=\frac{-4}{-10}\\x &=\frac{2}{5}\end{align*}$

$\begin{align*} 10x + 4 &= -20x\\10x + 20x &=-4\\30x &=-4\ \parallel\ :30\\x &=\frac{-4}{30}\\x &=-\frac{2}{15}\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x =\dfrac{2}{5}$ tai $x=-\dfrac{2}{15}$ .

Tehtävä 108

a) $-3-\left|-5\right| = -3 - 5 = -8$

b) $\left|-3-5\right| = \left|-8\right| = 8$

c) $\left|3\right| - \left|5\right| = 3-5= -28$

Tehtävä 109

a) Tutkitaan ensin, kumpi luvuista, 3 vai $\sqrt{10}$ on pienempi (tai suurempi).
Koska $\sqrt{9} = 3$ , niin $3<\sqrt{10}$ . Tällöin $3-\sqrt{10}<0$ .

Koska luku $3-\sqrt{10}$ on pienempi kuin nolla eli se on negatiivinen, niin sen itseisarvo on luvun vastaluku.

$\left| 3-\sqrt{10} \right| = -( 3-\sqrt{10} ) = - 3 + \sqrt{10} = \sqrt{10} -3$

b) Tutkitaan ensin, kumpi luvuista, $\pi = 3{,}14\ldots$ vai $3 \dfrac{1}{10}$ on pienempi (tai suurempi).
Koska $\pi = 3{,}14\ldots$ ja $3 \dfrac{1}{10} =3{,}1$ ,
niin $\pi > 3 \dfrac{1}{10}$ . Tällöin $\pi - 3 \dfrac{1}{10}>0$ .

Koska luku $\pi - 3 \dfrac{1}{10}$ on suurempi kuin nolla eli se on positiivinen, niin sen itseisarvo on luku itse.

$\left|\pi - 3 \dfrac{1}{10}\right| = \pi - 3 \dfrac{1}{10}$ .

c) Koska $a$ on negatiivinen luku, sen itseisarvo on luvun vastaluku.

$\left| a \right| = -a$ .

Tehtävä 110

a) Aloitetaan siirtämällä termi $-5$ yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle.

$\begin{align*}\left| 2x - 1 \right| -5 &= 0\\ \left| 2x - 1 \right| &= -5\end{align*}$

Luvut, joiden etäisyys nollasta on 5, ovat -5 ja 5.

Saadaan kaksi yhtälöä:

$2x-1 =-5$ ja $2x-1 = 5$

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

$\begin{align*}2x - 1 &= -5\\2x &= -5 + 1\\2x &=-4\ \parallel\ :2\\x &= \frac{-4}{2}\\x & = -2\end{align*}$

$\begin{align*}2x - 1 &= 5\\2x &= 5 + 1\\2x &=6\ \parallel\ :2\\x &= \frac{6}{2}\\x & = 3\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=-2$ ja $x=3$ .

b) Vain luvun nolla itseisarvo on nolla.

$\begin{align*}\left|3x+2\right| &= 0\\3x + 2 &= 0\\3x &= -2\ \parallel\ :3\\x &= -\frac{2}{3}\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisu on $x = -\dfrac{2}{3}$ .

c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun itseisarvo ei ole negatiivinen.

Tehtävä 112b

Yhtälö
$\left | x^2-x+2 \right| =4$ toteutuu, kun
$x^2-x+2 =4$ tai $x^2-x+2 =-4$ .

Ratkaistaan molemmat yhtälöt.

Ratkaistaan ensin yhtälö $x^2-x+2 =4$

$\begin{align*}x^2-x+2-4&=0\\x^2-x-2&=0\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=-7$ ja $x=1$ .

Ratkaistaan 2. asteen yhtälön ratkaisukaavalla, jossa

$\begin{cases}a&=1\\b&=-1\\c&=-2\end{cases}$

$\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\x&= \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2}\\ x&= \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\\x&= \frac{1 \pm 3}{2}\\x&=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\ \text{tai}\ x=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\end{align*}$

Ratkaistaan toinen yhtälö $x^2-x+2 =-4$

$\begin{align*} x^2-x+2+4&=0\\ x^2-x+6&=0\\x&= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}\\x&= \frac{1 \pm \sqrt{1-24}}{2}\\x&= \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{2}\end{align*}$

Ei ratkaisua, koska neliöjuuren sisällä oleva luku on negatiivinen.

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=-1$ tai $x=2$ .

Tehtävä 112c

Yhtälö $\left | x^3+ \dfrac{7}{16}\right|=\dfrac{9}{16}$ toteutuu, kun

$x^3+ \dfrac{7}{16}=\dfrac{9}{16}$ tai $x^3+ \dfrac{7}{16}=-\dfrac{9}{16}$ .

Ratkaistaan ensin yhtälö $x^3+ \dfrac{7}{16}=\dfrac{9}{16}$ .

$\begin{align*} x^3+ \frac{7}{16}&=\frac{9}{16} \\ x^3&=\frac{9}{16} - \frac{7}{16}\\ x^3&=\frac{9-7}{16} \\ x^3&=\frac{2}{16} \\ x^3&=\frac{1}{8}\ \parallel\ \sqrt[3]{\ }\\ x^3&=\sqrt[3]{\frac{1}{8}} \\ x&=\frac{1}{2}\end{align*}$

Ratkaistaan sitten yhtälö $x^3+ \dfrac{7}{16}=-\dfrac{9}{16}$ .

$\begin{align*} x^3+ \frac{7}{16}&=-\frac{9}{16} \\ x^3&=-\frac{9}{16} - \frac{7}{16}\\ x^3&=\frac{-9-7}{16} \\ x^3&=\frac{-16}{16} \\ x^3&=-\frac{16}{16} \\ x^3&=-1\ \parallel\ \sqrt[3]{\ }\\ x&=-1\end{align*}$

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=-1$ tai $x=\dfrac{1}{2}$ .

Tehtävä 113c

$\left | x^2-x \right| = \left | 1 - x^2 \right|$ .

Tämän ratkaisu perustuu seuraavaan itseisarvon ominaisuuteen, joka on lauseen kirjan sivulla 13.

$\left | a \right| = \left | b \right|$ jos ja vain jos $a=b$ tai $a=-b$ .

Kirjoitetaan ensimmäinen yhtälö, jossa

$\begin{align*}x^2-x &= 1 - x^2\\x^2+x^2-x-1 &=0\\2x^2-x-1&=0\end{align*}$

Ratkaistaan 2. asteen yhtälön ratkaisukaavalla, jossa

$\begin{cases}a&=2\\b&=-1\\c&=-1\end{cases}$

$\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\\ x&= \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4}\\ x &= \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}\\ x&= \frac{1 \pm 3}{4}\\ \end{align*}$

Tämän ratkaisut ovat

$x=\dfrac{1+3}{4}=\dfrac{4}{4}=1$

tai

$x=\dfrac{1-3}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$

Kirjoitetaan toinen yhtälö, jossa

$\begin{align*}x^2-x &= -(1 - x^2)\\ x^2-x &= -1 + x^2\\ x^2-x^2-x &=-1\\-x&=-1\ \parallel\ :(-1)\\x&=1\end{align*}$

Ratkaisuiksi saatiin $x=-\dfrac{1}{2}$ sekä kahdesti $x=1$ (joita ei kirjoiteta kahteen kertaan).

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=-\dfrac{1}{2}$ ja $x=1$ .

Tehtävä 114a

Yhtälö
$\left | 3x^2-7x+1 \right| =1$ toteutuu, kun
$3x^2-7x+1 =1$ tai $3x^2-7x+1 =-1$ .

Ratkaistaan ensin yhtälö $3x^2-7x+1 =1$ .

$\begin{align*} 3x^2-7x+1 &=1 \\ 3x^2-7x+1 -1 &=0\\ 3x^2-7x &=0 \\x(3x-7)&=0 \\ x&=0\\\mathrm{tai}\\3x-7&=0\\3x&=7\ \parallel\ :3\\x&=\frac{7}{3}=2 \frac{1}{3}\end{align*}$

Ratkaistaan sitten yhtälö $3x^2-7x+1 =-1$ .

$\begin{align*} 3x^2-7x+1 &=-1 \\ 3x^2-7x+1 +1 &=0\\ 3x^2-7x +2 &=0 \\ \end{align*}$

Ratkaistaan 2. asteen yhtälön ratkaisukaavalla, jossa

$\begin{cases}a&=3\\b&=-7\\c&=2\end{cases}$

$\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4\cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}\\ x&= \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{6}\\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6}\\ x &= \frac{7 \pm 5}{6} \\x&= \frac{7 -5}{6} =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\\mathrm{tai}\\ x&= \frac{7 +5}{6} = \frac{12}{6} =2 \end{align*}$

Ilmoitetaan ratkaisussa saadut $x$ :n arvot suuruusjärjestyksessä.

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat $x=0$ , $x=\dfrac{1}{3}$ , $x=2$ tai $x=\dfrac{7}{3}=2\dfrac{1}{3}$ .

Tehtävä 114c

Ratkaise yhtälö $\left| 5x-10\right| + \left|x^2-4\left|=0$ .

Kahden itseisarvon summa voi olla nolla vain silloin, kun molemmat itseisarvot ovat nollia. Siten merkitään

$5x-10=0$ ja $x^2-4=0$ .

Ratkaistaan ensin yhtälö $5x-10=0$ .

$\begin{align*}5x-10&=0\\5x&=0+10\\5x&=10\ \parallel\ :5\\x&= \frac{10}{5}\\x&=2\end{align*}$

Ratkaistaan sitten yhtälö $x^2-4=0$ .

$\begin{align*}x^2-4&=0\\x^2&=0+4\\x^2=4\ \parallel\ \sqrt{\ }\\x&= \pm 2\\x&=2\ \mathrm{tai}\ x=-2\end{align*}$

Saatiin ratkaisuiksi $x=2$ ja $x=2$ tai $x=-2$ . Molemmat yhtälöt toteutuvat, kun $x=2$ .

Vastus: Yhtälön ratkaisu on $x=2$ .

Tehtävä 126

Koska minkään luvun itseisarvo ei ole negatiivinen, tutkitaan, milloin itseisarvon määritelmän perusteella yhtälöllä
$\left| 2x+3 \right|=4x-3 \right|$ on ratkaisuja.

Ratkaisuja on vain, kun $4x - 3 \ge 0$ .

$\begin{align*}4x-3&\ge 0\\4x &\ge 3\ \parallel\ :4\\x &\ge\frac{3}{4}\end{align*}$

Vain sellaiset vastaukset kelpaavat, jotka toteuttavat ehdon $x \ge \dfrac{3}{4}$ .

Ratkaisu ei ole oikein, jos hyväksytään kaikki vastausvaihtoehdot. Jätetään vastauksesta pois $x=0$ .

Vastaus: $x=3$ .